Función derivada y derivadas sucesivas
De Wikillerato
en el punto
,
, si existe, es el valor del limite:
.
Si
es un número real, la función
es derivable en
.
Si
no es un número real o el límite no existe, la función
no es derivable en dicho punto.
Ejemplo
Calculemos la derivada de
en
:
%% }}}
%% {{{ =tasas de variación
Tasa de variación media
Supongamos que un coche de formula uno se mueve en una carretera totalmente recta. A distintas distancias de la salida se registran los tiempos de paso, obteniendose la siguiente tabla:
En este caso, la posición,
, se puede ver como una función,
, del tiempo,
; es decir:
La tasa de variación media de la posición en el intervalo de tiempo desde el
instante
al instante
es:
En general, la tasa de variación media de la función
en
se define como el cociente:
Tasa de variación instantánea
La tasa de variación instantánea de la función
en el punto
se obtiene haciendo tender
a
en la tasa de variación media de la función
en el intervalo
; por tanto, la tasa de variación instantánea de la función
en el punto
es
que es precisamente la derivada de la función
en el punto
.
NOTA: En el límite anterior
.
%% }}} %% {{{ =Derivadas de las funciones elementales
%% }}} %% {{{ =función derivada
Si
es una función derivable en el intervalo
, la función derivada de
es la que a cada
le hace corresponder la derivada de
en dicho punto. Esta función se designa por
.
Una función
es derivable en el intervalo
si lo es en cada punto del intervalo.
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
a la función derivada de
.
Esta función se denota por
.
es la derivada tercera de
y, en general,
es la derivada n-ésima de
.
%% }}} %% {{{ =significado geométrico de la derivada
Consideremos la grafica de una función
. Tomemos un punto
en dicha grafica y consideremos una sucesión de puntos
en la grafica de
. Supongamos que todos estos puntos estan a la derecha de
y que cuando
,
.
La recta que pasa por los puntos
y
es una secante a la grafica de la función
. De esta forma, hay una secante para cada punto
. Sea
la recta que pasa por
y por
.
Cuando
tiende a
,
tiende a la tangente a la grafica de la función
en el punto
,
:
Habria de esperar, pues, que la pendiente de
tienda a la pendiente de
cuando
tiende a
. Como la pendiente de
es una tasa de variación
media:
(
abcisa de
)
su limite cuando
es una tasa de variación instantánea, la derivada de
en
; es decir la pendiente de
es la derivada de
en
.
