Elipse
De Wikillerato
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Revisión de 06:12 18 may 2009
Tabla de contenidos |
Definición
Llamamos lugar geometrico al conjunto de puntos que satisfacen una determinada propiedad.
Llamamos elipse al lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de
distancias a dos puntos fijos del plano es constante este valor es 2a,
y
, es constante. Veamos sus elementos en los siguiente dibujos:
Los puntos fijos
y
se denominan focos, siendo el eje focal la recta que pasa por
ellos.
Se llama eje secundario a la mediatriz del segmento
. El punto medio de dicho segmento es el centro de la elipse.
Los dos ejes de la elipse cortan a ésta en cuatro puntos,
,
,
y
que reciben el nombre de vértices .
La distancia focal es la que hay entre los focos y se expresa por
. La mitad de esta distancia,
, es la semidistancia focal.
Para cualquier punto
de la elipse, se verifica que
es constante. Llamamos a esta constante
.
El segmento
es el eje mayor de la elipse. La longitud del eje mayor es
. La mitad de esta distancia,
, se denomina semieje mayor.
El segmento
es el eje menor de la elipse y su longitud se expresa por
. La mitad de esta distancia,
, es el semieje menor.
Si aplicamos el teorema de Pitagoras al triangulo rectangulo que forman los puntos
,
y el centro de la elipse, concluimos que en cualquier elipse se cumple la relación:
La excentricidad de una elipse es su grado de achatamiento y su valor está determinado por la expresión:
Cuanto mayor es la excentricidad mas achatada es la elipse.
En una elipse
y por lo tanto la excentricidad es positiva y menor que uno.
¿Existira alguna relación entre la excentricidad de una elipse y la excentricidad de una persona?
En la imagen de abajo vemos a un jardinero que esta dibujando una elipse en un jardin para poner en él sus rosales. Ha puesto dos estacas en el suelo separadas una cierta distancia y esta utilizando una cuerda con sus extremos unidos. El jardinero tensa la cuerda con las dos estacas y una vara que sujeta con la mano y dibuja la elipse creando un surco con la vara mientras se asegura de que la cuerda siempre forma un triangulo:
Ecuación
Supongamos que el origen de cordenadas esta en el centro de la elipse y que el eje focal
coincide con el eje
, entonces los focos son:
La condición de que la suma de la distancias de un punto cualquiera de la elipse,
, a los focos es
se puede expresar matematicamente de la siguiente forma:
Igualdad que es equivalente a esta otra:
que constituye la ecuación reducida de la elipse.
Ejemplo
y, por tanto, la excentricidad de una circunferencia es 0.
Referencias
- Cónicas: Ecuaciones de la circunferencia y la elipse, Pilar Ferrero Casado. Matemáticas: ESO, Bachillerato y Selectividad.
- Cónicas: Webs dinámicas con GeoGebra, Manuel Sada Allo