Posiciones relativas de dos rectas

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Tabla de contenidos

1 Introducción
2 Casos que se pueden dar:

Introducción

Dos rectas pueden adoptar en el espacio las cuatro posiciones relativas siguientes:

1. Coincidentes.

2. Paralelas.

3. Secantes.

4. Rectas que se cruzan.

Supongamos que tenemos dos rectas $r$ y $s$ que vienen dadas como interseccion de dos planos:

$r: \left\{ <pre> \begin{array}[c]{rcl} a_1 \cdot x \, + \, b_1 \cdot y \, + \, c_1 \cdot z \, + \, d_1 \, = \, 0 \\ a_2 \cdot x \, + \, b_2 \cdot y \, + \, c_2 \cdot z \, + \, d_2 \, = \, 0 \end{array} </pre> \right. \qquad s: \left\{ <pre> \begin{array}[c]{rcl} a_3 \cdot x \, + \, b_3 \cdot y \, + \, c_3 \cdot z \, + \, d_3 \, = \, 0 \\ a_4 \cdot x \, + \, b_4 \cdot y \, + \, c_4 \cdot z \, + \, d_4 \, = \, 0 \end{array} </pre> \right.$

Para determinar su posición relativa en el espacio tendremos que analizar el sistema formado por las ecuaciones de los cuatro planos, cuyas matrices asociadas son:

$A \, = \, \left( <pre> \begin{array}[c]{ccc} a_1 & b_1 $ c_1 \\ a_2 & b_2 $ c_2 \\ a_3 & b_3 $ c_3 \\ a_4 & b_4 $ c_4 \\ \end{array} </pre> \right) \qquad \mathrm{y} \qquad A | B \, = \, \left( <pre> \left. \begin{array}[c]{ccc} a_1 & b_1 $ c_1 \\ a_2 & b_2 $ c_2 \\ a_3 & b_3 $ c_3 \\ a_4 & b_4 $ c_4 \\ \end{array} \right| \begin{array}[c]{ccc} -d_1 \\ -d_2 \\ -d_3 \\ -d_4 \\ \end{array} </pre> \right)$

Las dos primeras filas de $A$ son linealmente independientes, ya que ambos planos determinan una recta. Por tanto, Rango ( A ) $\ge 2$ y Rango ( A | B ) $\ge 2$ . Según el teorema de Rouché-Frobenius, se pueden presentar los casos que describimos a continuacion.

Casos que se pueden dar:

Coincidentes: Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 2

El sistema de ecuaciones es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones. Las rectas tienen todos sus puntos comunes. Son rectas coincidentes.

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Paralelas: Rango ( A ) = 2, Rango ( A | B ) = 3

El sistema es incompatible, no tiene solución. Las rectas no tienen ningún punto en común, pero como Rango ( A ) = 2, las rectas son coplanarias ( estan en el mismo plano ). Son rectas paralelas.

Secantes: Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 3

El sistema de ecuaciones es compatible determinado, tiene una solución única. Las rectas tienen un solo punto común, que es el punto de corte. Son rectas secantes.

Rectas que se cruzan: Rango ( A ) = 3, Rango ( A | B ) =4

El sistema es incompatible, no tiene solucion. No tienen ningún punto en común, y como Rango ( A ) = 3, las rectas no son coplanarias ( no estan contenidas en un mismo plano ). Son rectas que se cruzan.

Otro procedimiento para determinar la posicion relativa de dos rectas es el siguiente:

1. Obtenemos dos vectores directores $\vec{\mathbf{u}}$ y $\vec{\mathbf{v}}$ de ambas rectas ( uno de cada recta ).

2. Si estos son paralelos entonces las rectas son coincidentes o paralelas. Para saber si son coincidentes o paralelas, hallamos un punto en una de las rectas y comprobamos si esta en la otra: si esta, entonces las rectas son coincidentes, si no esta, las rectas son paralelas.

3. Si $\vec{\mathbf{u}}$ y $\vec{\mathbf{v}}$ no son paralelos, entonces las rectas son secantes o se cruzan. En este caso, juntariamos las ecuaciones de las dos rectas y resolveriamos el sistema resultante: si no tiene solucion, las rectas se cruzan, si tiene solucion, las rectas son secantes.

Este procedimiento no requiere que las rectas esten dadas como interseccion de dos planos paralelos.

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