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Matriz inversa

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
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(→Método de Gauss-Jordan)
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===Método de Gauss-Jordan===
 
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La inversa de una matriz regular &nbsp;
 
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<math>
 
-
A
 
-
</math>
 
-
&nbsp; se calcular transformando la matriz &nbsp;
 
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<math>
 
-
\left(
 
-
\, A \, \left| \, I \, \right.
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
&nbsp; mediante operaciones
 
-
elementales por filas en la matriz &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\left(
 
-
\, I \, \left| \, A^{-1} \, \right.
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
====Operaciones elementales por filas en una matriz====
 
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-
Las operaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes:
 
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<br/>
 
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1. Intercambiar las filas &nbsp;
 
-
<math>
 
-
i
 
-
</math>
 
-
&nbsp; y &nbsp;
 
-
<math>
 
-
j,
 
-
</math>
 
-
&nbsp; que designaremos por &nbsp;
 
-
<math>
 
-
F_i \longrightarrow F_j
 
-
</math>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
2. Multiplicar la fila &nbsp;
 
-
<math>
 
-
i
 
-
</math>
 
-
&nbsp; por el numero &nbsp;
 
-
<math>
 
-
k \neq 0
 
-
</math>
 
-
&nbsp; y sustituirla por el resultado; lo designamos por &nbsp;
 
-
<math>
 
-
F_i \to k \cdot F_i
 
-
</math>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
3. Sumar la fila &nbsp;
 
-
<math>
 
-
i
 
-
</math>
 
-
&nbsp; con la fila &nbsp;
 
-
<math>
 
-
j
 
-
</math>
 
-
&nbsp; y sustituirla por el resultado; lo designamos por &nbsp;
 
-
<math>
 
-
F_i \to \ F_i + F_j
 
-
</math>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
4. Sumar las filas &nbsp;
 
-
<math>
 
-
i
 
-
</math>
 
-
&nbsp; y &nbsp;
 
-
<math>
 
-
j,
 
-
</math>
 
-
&nbsp;, multiplicadas por sendos números, y llevar el resultado a la fila &nbsp;
 
-
<math>
 
-
i
 
-
</math>
 
-
&nbsp; o &nbsp;
 
-
<math>
 
-
j
 
-
</math>
 
-
&nbsp;. Lo designamos por &nbsp;
 
-
<math>
 
-
F_i
 
-
</math>
 
-
&nbsp; o &nbsp;
 
-
<math>
 
-
F_j \to k \cdot F_i + t \cdot F_j
 
-
</math>
 

Revisión de 16:46 26 may 2009

Tabla de contenidos


Definición


La matriz inversa de una matriz cuadrada   A   de orden   n,   es la matriz,   A^{-1} ,   de orden   n   que verifica:


A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I


donde   I   es la matriz identidad de orden   n .


Las matrices que tienen inversas se llaman regulares y las que no tienen inversa matrices singulares.


Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa:


1.   Si existe,   A^{-1}   es única.


2.   \left( </p> <pre> A^{-1} </pre> <p>\right) ^{-1} = A


3.   \left( </p> <pre> A \cdot B </pre> <p>\right) ^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}


Cálculo de la matriz inversa

Para calcular la matriz inversa de una matriz regular podemos utilizar dos procedimientos:


Mediante la definicion


Ejemplo


A = \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{array} </pre> <p>\right)


hacemos


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


como


I = A \cdot A^{-1} \Rightarrow \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{array} </pre> <p>\right) \cdot \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} a & b \\ c & d \end{array} </pre> <p>\right) = \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} </pre> <p>\right)


Operando:


\left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} a + 2c & b + 2d \\ 3a + 7c & 3b + 7d \end{array} </pre> <p>\right) = \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} </pre> <p>\right) \Leftrightarrow \left\{ </p> <pre> \begin{array}[c]{ccc} a + 2c & = & 1 \\ 3a + 7c & = & 0 \\ b + 2d & = & 0 \\ 3b + 7d & = & 1 \\ \end{array} </pre> <p>\right.


\Rightarrow \left\{ </p> <pre> \begin{array}[c]{ccc} a & = & 7 \\ b & = & -2 \\ c & = & -3 \\ d & = & 1 \\ \end{array} </pre> <p>\right.



Véase también

  1. Cálculo de la invena matriz

Ejercicios resueltos


Producto e invertibilidad de matrices

Obtenido de "http://wikillerato.org/Matriz_inversa.html"
   
 
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