Posiciones relativas de dos rectas
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Introducción
Dos rectas pueden adoptar en el espacio las cuatro posiciones relativas siguientes:
1. Coincidentes.
2. Paralelas.
3. Secantes.
4. Rectas que se cruzan.
Supongamos que tenemos dos rectas
y
que vienen dadas como interseccion de dos planos:
Para determinar su posición relativa en el espacio tendremos que analizar el sistema formado por las ecuaciones de los cuatro planos, cuyas matrices asociadas son:
Las dos primeras filas de
son linealmente independientes, ya que ambos planos determinan una recta. Por
tanto, Rango ( A )
y Rango ( A | B )
. Según el teorema de Rouché-Frobenius, se pueden presentar los casos que describimos a continuacion.
Casos que se pueden dar:
Coincidentes: Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 2
El sistema de ecuaciones es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones. Las rectas tienenalgunossus puntos comunes. Son rectas coincidentes.
Paralelas: Rango ( A ) = 2, Rango ( A | B ) = 3
El sistema es incompatible, no tiene solución. Las rectas no tienen ningún punto en común, pero como Rango ( A ) = 2, las rectas son coplanarias ( estan en el mismo plano ). Son rectas paralelas.
Secantes: Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 3
El sistema de ecuaciones es compatible determinado, tiene una solución única. Las rectas tienen un solo punto común, que es el punto de corte. Son rectas secantes.
Rectas que se cruzan: Rango ( A ) = 3, Rango ( A | B ) =4
El sistema es incompatible, no tiene solucion. No tienen ningún punto en común, y como Rango ( A ) = 3, las rectas no son coplanarias ( no estan contenidas en un mismo plano ). Son rectas que se cruzan.
Otro procedimiento para determinar la posicion relativa de dos rectas es el siguiente:
1. Obtenemos dos vectores directores
y
de ambas rectas ( uno de cada recta ).
2. Si estos son paralelos entonces las rectas son coincidentes o paralelas. Para saber si son coincidentes o paralelas, hallamos un punto en una de las rectas y comprobamos si esta en la otra: si esta, entonces las rectas son coincidentes, si no esta, las rectas son paralelas.
3. Si
y
no son paralelos, entonces las rectas son secantes o se cruzan. En este caso,
juntariamos las ecuaciones de las dos rectas y resolveriamos el sistema resultante: si no
tiene solucion, las rectas se cruzan, si tiene solucion, las rectas son secantes.
Este procedimiento no requiere que las rectas esten dadas como interseccion de dos planos paralelos.