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Matriz inversa

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
(Ejemplo)
(Definición)
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__TOC__
__TOC__
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==Definición==
 
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<br/>
 
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La '''matriz inversa''' de una [[¿Qué es una matriz?|matriz]] cuadrada &nbsp;
 
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<math>
 
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A
 
-
</math>
 
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&nbsp; de orden &nbsp;
 
-
<math>
 
-
n,
 
-
</math>
 
-
&nbsp; es la matriz, &nbsp;
 
-
<math>
 
-
A^{-1}
 
-
</math>
 
-
, &nbsp; de orden &nbsp;
 
-
<math>
 
-
n
 
-
</math>
 
-
&nbsp; que verifica:
 
-
 
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<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
donde &nbsp;
 
-
<math>
 
-
I
 
-
</math>
 
-
&nbsp; es la matriz identidad de orden &nbsp;
 
-
<math>
 
-
n
 
-
</math>
 
-
.
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Las matrices que tienen inversas se llaman regulares y las que no tienen inversa matrices
 
-
singulares.
 
-
 
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<br/>
 
-
 
-
Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa:
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
1. &nbsp; Si existe,
 
-
&nbsp; <math>
 
-
A^{-1}
 
-
</math>
 
-
&nbsp; es única.
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
2. &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\left(
 
-
A^{-1}
 
-
\right)
 
-
^{-1} = A
 
-
</math>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
3. &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\left(
 
-
A \cdot B
 
-
\right)
 
-
^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}
 
-
</math>
 
-
 
-
<br/>
 
==Cálculo de la matriz inversa==
==Cálculo de la matriz inversa==

Revisión de 04:08 10 jul 2009

Tabla de contenidos



Cálculo de la matriz inversa

Para calcular la matriz inversa de una matriz regular podemos utilizar dos procedimientos:


Mediante la definicion



Método de Gauss-Jordan


La inversa de una matriz regular   
A
  se calcular transformando la matriz   
\left(
</p>
<pre>\, A \, \left| \, I \, \right.
</pre>
<p>\right)
  mediante operaciones elementales por filas en la matriz   
\left(
</p>
<pre>\, I \, \left| \, A^{-1} \, \right.
</pre>
<p>\right)


Operaciones elementales por filas en una matriz


Las operaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes:


1. Intercambiar las filas   
i
  y   
j,
  que designaremos por   
F_i \longrightarrow F_j


2. Multiplicar la fila   
i
  por el numero   
k \neq 0
  y sustituirla por el resultado; lo designamos por   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


3. Sumar la fila   
i
  con la fila   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]   y sustituirla por el resultado; lo designamos por   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


4. Sumar las filas   
i
  y   
j,
 , multiplicadas por sendos números, y llevar el resultado a la fila   
i
  o   
j
 . Lo designamos por   
F_i
  o   
F_j \to k \cdot F_i + t \cdot F_j

Véase también

  1. Cálculo de la invena matriz

Ejercicios resueltos


Producto e invertibilidad de matrices

   
 
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