Patrocinado por PHPDocX

Síguenos en Twitter

Buscar en WikilleratO
   

Matriz inversa

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
m (Revertidas las ediciones realizadas por 190.227.30.78 (Talk); a la última edición de 200.105.191.150)
Línea 1: Línea 1:
__TOC__
__TOC__
 +
==Definición==
 +
<br/>
 +
 +
La '''matriz inversa''' de una [[¿Qué es una matriz?|matriz]] cuadrada &nbsp;
 +
<math>
 +
A
 +
</math>
 +
&nbsp; de orden &nbsp;
 +
<math>
 +
n,
 +
</math>
 +
&nbsp; es la matriz, &nbsp;
 +
<math>
 +
A^{-1}
 +
</math>
 +
, &nbsp; de orden &nbsp;
 +
<math>
 +
n
 +
</math>
 +
&nbsp; que verifica:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
donde &nbsp;
 +
<math>
 +
I
 +
</math>
 +
&nbsp; es la matriz identidad de orden &nbsp;
 +
<math>
 +
n
 +
</math>
 +
.
 +
 +
<br/>
 +
 +
Las matrices que tienen inversas se llaman regulares y las que no tienen inversa matrices
 +
singulares.
 +
 +
<br/>
 +
 +
Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa:
 +
 +
<br/>
 +
 +
1. &nbsp; Si existe,
 +
&nbsp; <math>
 +
A^{-1}
 +
</math>
 +
&nbsp; es única.
 +
 +
<br/>
 +
 +
2. &nbsp;
 +
<math>
 +
\left(
 +
A^{-1}
 +
\right)
 +
^{-1} = A
 +
</math>
 +
 +
<br/>
 +
 +
3. &nbsp;
 +
<math>
 +
\left(
 +
A \cdot B
 +
\right)
 +
^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}
 +
</math>
 +
 +
<br/>
==Cálculo de la matriz inversa==
==Cálculo de la matriz inversa==
Línea 14: Línea 93:
<br/>
<br/>
 +
====Ejemplo====
 +
<br/>
 +
<center>
 +
<math>
 +
A =
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
1 & 2
 +
\\
 +
3 & 7
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
hacemos
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
A^{-1} =
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
a & b</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
como
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
I = A \cdot A^{-1} \Rightarrow
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
1 & 2
 +
\\
 +
3 & 7
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
\cdot
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
a & b
 +
\\
 +
c & d
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
=
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
1 & 0
 +
\\
 +
0 & 1
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Operando:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
a + 2c & b + 2d
 +
\\
 +
3a + 7c & 3b + 7d
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
=
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
1 & 0
 +
\\
 +
0 & 1
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
\Leftrightarrow
 +
\left\{
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
a + 2c & = & 1
 +
\\
 +
3a + 7c & = & 0
 +
\\
 +
b + 2d & = & 0
 +
\\
 +
3b + 7d & = & 1
 +
\\
 +
\end{array}
 +
\right.
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\Rightarrow \left\{
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
a & = & 7
 +
\\
 +
b & = & -2
 +
\\
 +
c & = & -3
 +
\\
 +
d & = & 1
 +
\\
 +
\end{array}
 +
\right.
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
===Método de Gauss-Jordan===
 +
 +
<br/>
 +
 +
La inversa de una matriz regular &nbsp;
 +
<math>
 +
A
 +
</math>
 +
&nbsp; se calcular transformando la matriz &nbsp;
 +
<math>
 +
\left(
 +
\, A \, \left| \, I \, \right.
 +
\right)
 +
</math>
 +
&nbsp; mediante operaciones
 +
elementales por filas en la matriz &nbsp;
 +
<math>
 +
\left(
 +
\, I \, \left| \, A^{-1} \, \right.
 +
\right)
 +
</math>
 +
 +
<br/>
 +
 +
====Operaciones elementales por filas en una matriz====
 +
 +
<br/>
 +
 +
Las operaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes:
 +
 +
<br/>
 +
 +
1. Intercambiar las filas &nbsp;
 +
<math>
 +
i
 +
</math>
 +
&nbsp; y &nbsp;
 +
<math>
 +
j,
 +
</math>
 +
&nbsp; que designaremos por &nbsp;
 +
<math>
 +
F_i \longrightarrow F_j
 +
</math>
 +
 +
<br/>
 +
 +
2. Multiplicar la fila &nbsp;
 +
<math>
 +
i
 +
</math>
 +
&nbsp; por el numero &nbsp;
 +
<math>
 +
k \neq 0
 +
</math>
 +
&nbsp; y sustituirla por el resultado; lo designamos por &nbsp;
 +
<math>
 +
F_i \to k \cdot F_i
 +
</math>
 +
 +
<br/>
 +
 +
3. Sumar la fila &nbsp;
 +
<math>
 +
i
 +
</math>
 +
&nbsp; con la fila &nbsp;
 +
<math>
 +
j
 +
</math>
 +
&nbsp; y sustituirla por el resultado; lo designamos por &nbsp;
 +
<math>
 +
F_i \to \ F_i + F_j
 +
</math>
 +
 +
<br/>
 +
4. Sumar las filas &nbsp;
 +
<math>
 +
i
 +
</math>
 +
&nbsp; y &nbsp;
 +
<math>
 +
j,
 +
</math>
 +
&nbsp;, multiplicadas por sendos números, y llevar el resultado a la fila &nbsp;
 +
<math>
 +
i
 +
</math>
 +
&nbsp; o &nbsp;
 +
<math>
 +
j
 +
</math>
 +
&nbsp;. Lo designamos por &nbsp;
 +
<math>
 +
F_i
 +
</math>
 +
&nbsp; o &nbsp;
 +
<math>
 +
F_j \to k \cdot F_i + t \cdot F_j
 +
</math>
== Véase también ==
== Véase también ==

Revisión de 07:35 10 jul 2009

Tabla de contenidos


Definición


La matriz inversa de una matriz cuadrada   A   de orden   n,   es la matriz,   A^{-1} ,   de orden   n   que verifica:


A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I


donde   I   es la matriz identidad de orden   n .


Las matrices que tienen inversas se llaman regulares y las que no tienen inversa matrices singulares.


Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa:


1.   Si existe,   A^{-1}   es única.


2.   \left( </p> <pre> A^{-1} </pre> <p>\right) ^{-1} = A


3.   \left( </p> <pre> A \cdot B </pre> <p>\right) ^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}


Cálculo de la matriz inversa

Para calcular la matriz inversa de una matriz regular podemos utilizar dos procedimientos:


Mediante la definicion


Ejemplo


A = \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{array} </pre> <p>\right)


hacemos


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


como


I = A \cdot A^{-1} \Rightarrow \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{array} </pre> <p>\right) \cdot \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} a & b \\ c & d \end{array} </pre> <p>\right) = \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} </pre> <p>\right)


Operando:


\left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} a + 2c & b + 2d \\ 3a + 7c & 3b + 7d \end{array} </pre> <p>\right) = \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} </pre> <p>\right) \Leftrightarrow \left\{ </p> <pre> \begin{array}[c]{ccc} a + 2c & = & 1 \\ 3a + 7c & = & 0 \\ b + 2d & = & 0 \\ 3b + 7d & = & 1 \\ \end{array} </pre> <p>\right.


\Rightarrow \left\{ </p> <pre> \begin{array}[c]{ccc} a & = & 7 \\ b & = & -2 \\ c & = & -3 \\ d & = & 1 \\ \end{array} </pre> <p>\right.


Método de Gauss-Jordan


La inversa de una matriz regular   A   se calcular transformando la matriz   \left( </p> <pre>\, A \, \left| \, I \, \right. </pre> <p>\right)   mediante operaciones elementales por filas en la matriz   \left( </p> <pre>\, I \, \left| \, A^{-1} \, \right. </pre> <p>\right)


Operaciones elementales por filas en una matriz


Las operaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes:


1. Intercambiar las filas   i   y   j,   que designaremos por   F_i \longrightarrow F_j


2. Multiplicar la fila   i   por el numero   k \neq 0   y sustituirla por el resultado; lo designamos por   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


3. Sumar la fila   i   con la fila   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]   y sustituirla por el resultado; lo designamos por   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


4. Sumar las filas   i   y   j,  , multiplicadas por sendos números, y llevar el resultado a la fila   i   o   j  . Lo designamos por   F_i   o   F_j \to k \cdot F_i + t \cdot F_j

Véase también

  1. Cálculo de la invena matriz

Ejercicios resueltos


Producto e invertibilidad de matrices

Obtenido de "http://wikillerato.org/Matriz_inversa.html"
   
 
ASIGNATURAS
 MatemáticasFísicaQuímicaBiologíaDibujoHistoriaLengua y LiteraturaHistoria del ArteFilosofía
Creative Commons License
Los contenidos de Wikillerato están disponibles bajo una licencia de Creative Commons.
Pueden utilizarse y redistribuirse libremente siempre que se reconozca su procedencia.