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Puntos y rectas notables de los triángulos

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==Puntos y rectas notables de los triángulos==
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Las rectas y puntos notables de un [[Triángulos| triángulo]] <math>ABC</math> son:
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las mediatrices, <math>m_{AB}, \ m_{AC}, \ m_{BC}</math>, que se cortan en un punto llamado circuncentro <math>C</math> ,centro de la circunferencia circunscrita al triángulo;
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las [[Mediana| medianas]], <math>n_A ,n_B , n_C</math>, que se cortan en el baricentro, <math>B</math>, centro de gravedad del triángulo;
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las bisectrices, <math>b_A ,b_B , b_C</math>, que se cortan en el incentro <math>I</math>, centro de la circunferencia inscrita del triángulo;
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las alturas, <math>h_A ,h_B , h_C</math>, que se cortan en el ortocentro, <math>O \ </math>.
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[[Imagen:13Triangulos.gif]]
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===Las mediatrices===
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Las mediatrices de un triángulo '''acutángulo''' se cortarán siempre en un punto interior del triángulo, luego su '''circuncentro ''' será interior al triángulo.
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[[Imagen:DibujoTecnico_I-2_13.gif]]
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En el caso del triángulo '''rectángulo''' vemos que el '''circuncentro''' coincide con el punto medio de la '''hipotenusa. '''
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[[Imagen:DibujoTecnico_I-2_14.gif]]
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En el caso de un triángulo '''obtusángulo''', el '''circuncentro''' es '''exterior''' al triángulo.
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[[Imagen:DibujoTecnico_I-2_15.gif]]
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===Las medianas===
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Las medianas se cortan siempre en un punto interior del triángulo.
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El '''baricentro''' tiene una propiedad física importante: es el '''centro de gravedad''' del triángulo.
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[[Imagen:DibujoTecnico_I-2_16.gif]]
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Si unimos los puntos medios de los lados del triángulo <math>ABC</math> obtenemos el triángulo <math>MPN \ </math> que tiene el mismo baricentro que <math>ABC</math> y sus medianas miden la mitad que las de <math>ABC</math>.
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Además los lados de <math>MPN \ </math> miden la mitad que los lados de <math>ABC</math> y la superficie de <math>MPN \ </math> es la cuarta parte de la superficie de <math>ABC</math>, pues podemos comprobar que al trazar <math>MPN \ </math> se han definido otros tres triángulos iguales: <math>BMP, PCN y AMN</math>.
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[[Imagen:DibujoTecnico_I-2_17.gif]]
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Consideramos una mediana <math>AP</math>. Si <math>B</math> es el baricentro se cumple que <math>AB = 2BP</math>.
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Se cumple también que si se dibuja <math>BY</math>, la mediana de la mediana <math>AP</math>, ésta corta al lado <math>AC</math> siendo: <math>ZC=2AZ</math>.
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[[Imagen:DibujoTecnico_I-2_18.gif]]
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===Las alturas===
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Las alturas de un triángulo '''acutángulo''' se cortan siempre en un punto interior del triángulo, luego su '''ortocentro''' es interior al triángulo.
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[[Imagen:DibujoTecnico_I-2_19.gif]]
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En el caso de un triángulo '''obtusángulo''', el '''ortocentro''' es '''exterior''' al triángulo.
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[[Imagen:DibujoTecnico_I-2_20.gif]]
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En el caso del triángulo '''rectángulo''' vemos que el '''ortocentro''' coincide con el '''vértice del ángulo recto.'''
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[[Imagen:DibujoTecnico_I-2_21.gif]]
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===Las bisectrices===
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Las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo <math>ABC</math> se cortan en un punto llamado '''incentro''' que siempre es interior al triángulo. Como el '''incentro''' <math>I</math> pertenece a las tres bisectrices equidista de los tres lados y es el centro de la circunferencia inscrita a <math>ABC</math>.
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Para dibujar dicha circunferencia debemos hallar los puntos de tangencia sobre los lados. Basta con trazar una perpendicular desde <math>I</math> a uno de ellos, por ejemplo al lado <math>c</math>, obteniendo <math>Tc</math> y, a continuación trasladar el resultado a cada uno de los lados del triángulo, como se ve en la figura, ya que <math>ATc=ATb, \ BTc=BTa</math> y <math>CTa=CTb</math>.
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[[Imagen:DibujoTecnico_I-2_22.gif]]
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El '''teorema de la bisectriz''' dice que “la bisectriz de un ángulo interno corta al lado opuesto en partes proporcionales a los otros lados”.
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Demostraremos este teorema al ocuparnos de la proporcionalidad directa.
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==Propiedades relativas a las rectas y puntos notables de los triángulos==
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===Suma de vectores===
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En un triángulo <math>ABC</math>, cuyo circuncentro es <math>C</math> y su ortocentro es <math>O \ </math>, se verifica que el vector <math>CO</math> es igual a la suma de los vectores <math>CA \ + \ CC \ + \ CB</math>.
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[[Imagen:DibujoTecnico_I-2_23.gif]]
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===Triángulo órtico y circunferencia de Feuerbach===
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El triángulo <math>HaHbHc</math> que tiene como vértices los pies de las alturas de un triángulo <math>ABC</math> se llama triángulo '''órtico. '''
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Las bisectrices del triángulo '''órtico''' de <math>ABC</math> están en las mismas rectas que contienen a las alturas de dicho triángulo.
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La circunferencia '''circunscrita al órtico''' de <math>ABC</math> se llama circunferencia de '''Feuerbach o circunferencia de los nueve puntos''' ya que pasa también por los puntos medios de los lados de <math>ABC, \ M, \ N</math> y <math>P</math> y por los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro con los vértices de <math>ABC, \ X, \ Y</math> y <math>Z</math>.
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[[Imagen:DibujoTecnico_I-2_24.gif]]
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Sea <math>HaHbHc</math> es el triángulo '''órtico''' de un triángulo desconocido <math>ABC</math>. Al hallar <math>ABC</math> vamos a ver que existen cuatro soluciones, lo que indica que cada '''órtico''' y cada circunferencia de '''Feuerbach''' pueden pertenecer a cuatro triángulos distintos.
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Dibujamos las bisectrices de <math>ABC</math>, que coinciden con las alturas de <math>ABC</math>. Trazamos por <math>Ha, Hb</math> y <math>Hc</math> perpendiculares a tales bisectrices, que son los lados del triángulo buscado, <math>ABC</math>. Esta es la primera solución. Señalamos el '''ortocentro''' <math>O \ </math> y la circunferencia de '''Feuerbach. '''
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[[Imagen:DibujoTecnico_I-2_25.gif]]
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Las otras soluciones son los tres triángulos obtusángulos que obtenemos al considerar como lados las alturas de <math>ABC</math>, como <math>ABD</math>, cuyo ortocentro coincide con el vértice <math>C</math>. Las otras soluciones serían <math>ACD</math>, con ortocentro en <math>B</math> y <math>BCD</math>, con ortocentro en <math>A</math>.
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[[Imagen:DibujoTecnico_I-2_26.gif]]
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===Recta de Simson===
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Sea un triángulo <math>ABC</math> y su circunferencia circunscrita. Si trazamos rectas perpendiculares a los lados de <math>ABC</math> desde un punto arbitrario <math>P</math> de la circunferencia, los pies de dichas perpendiculares están alineados en una recta que se llama '''recta de Simson.'''
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Si unimos <math>P</math> con el '''ortocentro''' de <math>ABC</math> el punto medio <math>M</math> del segmento obtenido está sobre la '''recta de Simson''' y sobre la circunferencia de '''Feuerbach''' de <math>ABC</math>.
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[[Imagen:DibujoTecnico_I-2_27.gif]]
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===Recta de Euler===
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La recta definida por el '''circuncentro''' y el '''ortocentro''' de un triángulo <math>ABC</math> se llama '''recta de Euler'''. La recta de '''Euler''' contiene también al '''baricentro''' y al centro de la circunferencia de '''Feuerbach,''' <math>X</math>.
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La distancia entre el baricentro y el circuncentro es la mitad de la distancia entre el baricentro y el ortocentro: <math>BC = BO/2</math>.
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El centro de la circunferencia de Feuerbach es el punto medio de <math>CO</math>, segmento definido por el circuncentro y el ortocentro.
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[[Imagen:DibujoTecnico_I-2_28.gif]]
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===Propiedad de las mediatrices y las bisectrices===
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Sea un triángulo <math>ABC</math>. La bisectriz de cada ángulo se corta con la mediatriz del lado opuesto en un punto de la circunferencia circunscrita.
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[[Imagen:DibujoTecnico_I-2_29.gif]]
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===Circunferencia exinscritas y exincentros de un triángulo===
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Trazamos las bisectrices de los ángulos exteriores de un triángulo <math>ABC</math>.
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Estas bisectrices serán perpendiculares en cada vértice a las bisectrices del ángulo interior del mismo, ya que los ángulos son suplementarios. Se cortarán dos a dos en tres puntos llamados '''exincentros''' que son los centros de las tres circunferencias '''exinscritas''' al triángulo.
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Estas circunferencias son tangentes a las tres rectas definidas por los vértices <math>A, B \ y \ C</math>.
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El triángulo definido por los '''exincentros''' tiene como triángulo '''órtico''' a <math>ABC</math>.
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[[Imagen:DibujoTecnico_I-2_30_thumb.gif]]
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[[:Imagen:DibujoTecnico_I-2_30.gif|Ver a tamaño completo]]
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===Teorema de Feuerbach===
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El teorema de '''Feuerbach''' dice: “La circunferencia de Feuerbach de un triángulo <math>ABC</math> es tangente común a la circunferencia inscrita y a las tres circunferencias exinscritas de <math>ABC</math>”.
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Para comprobarlo trazamos dichas circunferencias y hallamos los puntos de tangencia respectivos uniendo ordenadamente sus centros.
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[[Imagen:DibujoTecnico_I-2_31_thumb.gif]]
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[[:Imagen:DibujoTecnico_I-2_31.gif|Ver a tamaño completo]]
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[[Categoría:Dibujo]]
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Revisión de 02:23 6 may 2010

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