Límite de una función

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Revisión de 05:08 19 ago 2010

Tabla de contenidos

1 Nota sobre terminología
2 Limite de f(x) cuando x tiende a un número real
3 Limite de f(x) cuando x tiende a infinito
4 Limite de f(x) cuando x tiende a menos infinito

Nota sobre terminología

Utilizamos la palabra pequeño ( grande) de la siguiente manera:

$a$ es mas pequeño ( grande ) que $b$ si y solo si $b > a \left( \, a > b \, \right)$ .

Es decir, $a$ es mas pequeño ( grande ) que $b$ si $a$ es menor ( mayor ) que $b$ .

La distancia entre dos puntos $a$ y $b$ de la recta real $\left( <pre> \, a, \, b \in \mathbb{R} \, </pre> \right)$ es $\left| \, a - b \, \right|$ . Cuanto mas pequeña sea esta distancia mas proximos o cercanos diremos que estan los puntos $a$ y $b$ .

Por ejemplo, $-1$ esta mas cerca de $2$ que el $7$ ya que

$\left| \, 2 - 7 \, \right| > \left| \, 2 - \left( -1 \right) \right|$

Limite de f(x) cuando x tiende a un número real

Limite finito

El límite de la función $\mathrm{f}$ , cuando $x$ tiende a $x_0 \in\mathbb{R}$ existe y es igual a $L \in \mathbb{R}$ , si ambos límites laterales existen y son iguales a $L$ , es decir

$\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L$

Lo expresamos de la siguiente manera:

$\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L$

El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ tan cercano a $L$ como queramos eligiendo $x$ lo suficientemente proximo a $x_0$ , por la derecha o por la izquierda.

Limite infinito

El límite de la función $\mathrm{f}$ , cuando $x$ tiende a $x_0 \in\mathbb{R}$ por la izquierda existe y es igual a $\infty$ si podemos hacer $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ tan grande como queramos, eligiendo $x$ lo suficientemente cercano a $x_0$ por la izquierda $\left( \, x_0 > x \, \right)$ .

Es decir

$\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 / \left( <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, </pre> \right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, x_0 - \delta, \, x_0 \, \right) \right)$

Lo expresamos de la siguiente manera:

$\lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty$

Analogamente, el límite de la función $\mathrm{f}$ , cuando $x$ tiende a $x_0 \in\mathbb{R}$ por la derecha existe y es igual a $\infty$ si podemos hacer $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ tan grande como queramos, eligiendo $x$ lo suficientemente cercano a $x_0$ por la derecha $\left( \, x > x_0 \, \right)$ .

Es decir

$\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 / \left( <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, </pre> \right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, x_0, \, x_0 + \delta \, \right) \right)$

Lo expresamos de la siguiente manera:

$\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty$

Ejemplo

Demostremos que

$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty$

Para ello seleccionamos un $y \in \mathbb{R}$ cualquiera e intentamos encontrar un $\delta > 0$ de manera que

$x \in \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x} > y$

Si $y$ no es positivo, entonces cualquier $\delta > 0$ verifica

$x \in \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x} > y$

Si $y$ es positivo, entonces

$\frac{1}{x} > y \Leftrightarrow \frac{1}{y} > x > 0$

Por lo tanto, si elegimos

$\delta = \frac{1}{y}$

se verifica que

$x \in \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x} > y$

Limite menos infinito

El límite de la función $\mathrm{f}$ , cuando $x$ tiende a $x_0 \in\mathbb{R}$ por la izquierda existe y es igual a $-\infty$ si podemos hacer $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ tan pequeño como queramos, eligiendo $x$ lo suficientemente cercano a $x_0$ por la izquierda $\left( \, x_0 > x \, \right)$ .

Es decir

$\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 / \left( <pre> \, y > \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \quad \forall x \in \left( \, x_0 - \delta, \, x_0 \, \right) </pre> \right)$

Lo expresamos de la siguiente manera:

$\lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty$

Analogamente, el límite de la función $\mathrm{f}$ , cuando $x$ tiende a $x_0 \in\mathbb{R}$ por la derecha existe y es igual a $-\infty$ si podemos hacer $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ tan pequeño como queramos, eligiendo $x$ lo suficientemente cercano a $x_0$ por la derecha $\left( <pre> \, x > x_0 \, </pre> \right)$ .

Es decir

$\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 / \left( <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, x_0, \, x_0 + \delta \, \right) </pre> \right)$

Lo expresamos de la siguiente manera:

$\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty$

Cuando alguno de los limites laterales de $\mathrm{f}$ cuando $x$ tiende a $x_0$ es infinito o menos infinito, la grafica de $\mathrm{f}$ tiene una asintota vertical de ecuación $x = x_0$ .