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Límite de una función

De Wikillerato

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b
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de la recta real (
+
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a, \, b \in \mathbb{R}
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\left| \, a - b \, \right|
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==Limite de f(x) cuando x tiende a un número real==
==Limite de f(x) cuando x tiende a un número real==
Línea 82: Línea 107:
\mathrm{f}
\mathrm{f}
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-
, cuando &nbsp;
+
cuando &nbsp;
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x
x
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L \in \mathbb{R}
L \in \mathbb{R}
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-
, si ambos [[Límites laterales|límites laterales]] existen y son iguales a
+
si ambos [[Límites laterales|límites laterales]] existen y son iguales a
&nbsp;
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Línea 140: Línea 165:
x_0
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, por la derecha o por la izquierda.
+
, &nbsp; por la derecha o por la izquierda.
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Línea 152: Línea 177:
\mathrm{f}
\mathrm{f}
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, cuando &nbsp;
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x
x
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x_0 \in\mathbb{R}
x_0 \in\mathbb{R}
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-
&nbsp; existe y es igual a &nbsp;
+
&nbsp; por la '''''izquierda''''' existe y es igual a &nbsp;
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\infty
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-
, si podemos hacer &nbsp;
+
si podemos hacer &nbsp;
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
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&nbsp; tan grande como queramos, eligiendo
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lo suficientemente cercano a &nbsp;
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\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 /
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Lo expresamos de la siguiente manera:
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Analogamente, el límite de la función &nbsp;
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&nbsp; por la '''''derecha''''' existe y es igual a &nbsp;
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&nbsp; tan grande como queramos, eligiendo
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lo suficientemente cercano a &nbsp;
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&nbsp; por la derecha &nbsp;
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Línea 185: Línea 273:
\left(
\left(
\, \mathrm{f} \left( \, x \,
\, \mathrm{f} \left( \, x \,
-
\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, x_0 - \delta, \, x_0 \, \right)
+
\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, x_0, \, x_0 + \delta \, \right)
-
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+
-
\left( \, x_0, \, x_0 + \delta \, \right)
+
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Línea 198: Línea 284:
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-
\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty
+
\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty
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Línea 211: Línea 297:
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-
\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty
+
\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty
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Línea 219: Línea 305:
y \in \mathbb{R}
y \in \mathbb{R}
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-
&nbsp; cualquiera e intentamos encontrar un
+
&nbsp; cualquiera e intentamos encontrar un &nbsp;
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+
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\delta > 0
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-
x \in \left( \, -\delta, \, 0 \, \right) \cup \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x^2} > y
+
x \in \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x} > y
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Línea 236: Línea 320:
y
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no es positivo, entonces cualquier
+
no es positivo, entonces cualquier &nbsp;
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\delta > 0
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+
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-
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+
x \in \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x} > y
-
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\frac{1}{x^2} > y \Leftrightarrow \frac{1}{\left| x \right|} > \sqrt{y} \Leftrightarrow
+
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-
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+
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Línea 263: Línea 345:
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\delta = \frac{1}{\sqrt{y}}
+
\delta = \frac{1}{y}
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Línea 269: Línea 351:
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-
x \in \left( \, -\delta, \, 0 \, \right) \cup \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x^2} > y
+
x \in \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x} > y
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Línea 283: Línea 365:
\mathrm{f}
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, cuando &nbsp;
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cuando &nbsp;
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x
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x_0 \in\mathbb{R}
x_0 \in\mathbb{R}
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&nbsp; existe y es igual a &nbsp;
+
&nbsp; por la '''''izquierda''''' existe y es igual a &nbsp;
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-\infty
-\infty
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, si podemos hacer &nbsp;
+
si podemos hacer &nbsp;
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
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&nbsp; tan pequeño como queramos, eligiendo
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lo suficientemente cercano a &nbsp;
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\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 /
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\, y > \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \quad \forall x \in \left( \, x_0 - \delta, \, x_0 \, \right)
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Lo expresamos de la siguiente manera:
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\lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty
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Analogamente, el límite de la función &nbsp;
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x_0 \in\mathbb{R}
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&nbsp; por la '''''derecha''''' existe y es igual a &nbsp;
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&nbsp; tan pequeño como queramos, eligiendo
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lo suficientemente cercano a &nbsp;
lo suficientemente cercano a &nbsp;
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x_0
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&nbsp; por la derecha &nbsp;
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\, x > x_0 \,
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Línea 315: Línea 461:
\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 /
\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 /
\left(
\left(
-
\, y > \mathrm{f} \left( \, x \,
+
\, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, x_0, \, x_0 + \delta \, \right)
-
\right), \, \quad \forall x \in \left( \, x_0 - \delta, \, x_0 \, \right) \cup \left( \, x_0, \, x_0 + \delta \, \right)
+
\right)
\right)
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Línea 327: Línea 472:
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\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty
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\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty
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&nbsp; es infinito o menos infinito, la grafica de
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tiene una [[Asintotas#Asintotas verticales|asintota vertical]] de ecuación &nbsp;
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, cuando &nbsp;
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x
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\infty
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, es &nbsp;
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L \in \mathbb{R}
L \in \mathbb{R}
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Si el límite de la funcion &nbsp;
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 +
derecha de ecuación &nbsp;
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x
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, si podemos hacer &nbsp;
+
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
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cuando &nbsp;
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x
x
Línea 490: Línea 686:
-\infty
-\infty
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-
, si podemos hacer &nbsp;
+
si podemos hacer &nbsp;
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<math>
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
Línea 537: Línea 733:
\mathrm{f}
\mathrm{f}
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-
, cuando &nbsp;
+
cuando &nbsp;
<math>
<math>
x
x
Línea 545: Línea 741:
-\infty
-\infty
</math>
</math>
-
, es &nbsp;
+
es &nbsp;
<math>
<math>
L \in \mathbb{R}
L \in \mathbb{R}
Línea 603: Línea 799:
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Si el límite de la funcion &nbsp;
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cuando &nbsp;
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 +
x
 +
</math>
 +
&nbsp; tiende a &nbsp;
 +
<math>
 +
-\infty
 +
</math>
 +
es &nbsp;
 +
<math>
 +
L \in \mathbb{R}
 +
</math>,
 +
&nbsp; entonces la gráfica de la función
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
tiene una [[Asintotas#Asintotas horizontales|asintota horizontal]] por la
 +
izquierda de ecuación &nbsp;
 +
<math>
 +
y = L
 +
</math>.
<br/>
<br/>
Línea 614: Línea 838:
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
, cuando &nbsp;
+
cuando &nbsp;
<math>
<math>
x
x
Línea 626: Línea 850:
\infty
\infty
</math>
</math>
-
, si podemos hacer &nbsp;
+
si podemos hacer &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
Línea 669: Línea 893:
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
, cuando &nbsp;
+
cuando &nbsp;
<math>
<math>
x
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Línea 681: Línea 905:
-\infty
-\infty
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, si podemos hacer &nbsp;
+
si podemos hacer &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)

Revisión actual

Tabla de contenidos


Nota sobre terminología


Utilizamos la palabra pequeño ( grande) de la siguiente manera:


a es mas pequeño ( grande ) que b si y solo si   b > a \left( \, a > b \, \right) .


Es decir, a es mas pequeño ( grande ) que b si a es menor ( mayor ) que b .


La distancia entre dos puntos a y b de la recta real \left( </p> <pre> \, a, \, b \in \mathbb{R} \, </pre> <p>\right) es   \left| \, a - b \, \right| .   Cuanto mas pequeña sea esta distancia mas proximos o cercanos diremos que estan los puntos a y b .


Por ejemplo, -1 esta mas cerca de 2 que el 7 ya que

\left| \, 2 - 7 \, \right| > \left| \, 2 - \left( -1 \right) \right|


Limite de f(x) cuando x tiende a un número real


Limite finito


El límite de la función   \mathrm{f} cuando   x   tiende a   x_0 \in\mathbb{R}   existe y es igual a   L \in \mathbb{R} si ambos límites laterales existen y son iguales a   L , es decir


\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L


Lo expresamos de la siguiente manera:


\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L


El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan cercano a   L   como queramos eligiendo   x   lo suficientemente proximo a   x_0 ,   por la derecha o por la izquierda.


Limite infinito


El límite de la función   \mathrm{f} cuando   x   tiende a   x_0 \in\mathbb{R}   por la izquierda existe y es igual a   \infty si podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan grande como queramos, eligiendo x lo suficientemente cercano a   x_0   por la izquierda   \left( \, x_0 > x \, \right) .


Es decir

\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 / \left( </p> <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, </pre> <p>\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, x_0 - \delta, \, x_0 \, \right) \right)

Lo expresamos de la siguiente manera:


\lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty


Analogamente, el límite de la función   \mathrm{f} cuando   x   tiende a   x_0 \in\mathbb{R}   por la derecha existe y es igual a   \infty si podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan grande como queramos, eligiendo x lo suficientemente cercano a   x_0   por la derecha   \left( \, x > x_0 \, \right) .


Es decir

\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 / \left( </p> <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, </pre> <p>\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, x_0, \, x_0 + \delta \, \right) \right)

Lo expresamos de la siguiente manera:


\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty


Ejemplo


Demostremos que

\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty

Para ello seleccionamos un   y \in \mathbb{R}   cualquiera e intentamos encontrar un   \delta > 0   de manera que

x \in \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x} > y

Si y no es positivo, entonces cualquier   \delta > 0   verifica

x \in \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x} > y

Si y es positivo, entonces

\frac{1}{x} > y \Leftrightarrow \frac{1}{y} > x > 0

Por lo tanto, si elegimos

\delta = \frac{1}{y}

se verifica que

x \in \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x} > y


Limite menos infinito


El límite de la función   \mathrm{f} cuando   x   tiende a   x_0 \in\mathbb{R}   por la izquierda existe y es igual a   -\infty si podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan pequeño como queramos, eligiendo x lo suficientemente cercano a   x_0   por la izquierda \left( \, x_0 > x \, \right) .


Es decir

\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 / \left( </p> <pre> \, y > \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \quad \forall x \in \left( \, x_0 - \delta, \, x_0 \, \right) </pre> <p>\right)

Lo expresamos de la siguiente manera:


\lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty


Analogamente, el límite de la función   \mathrm{f} cuando   x   tiende a   x_0 \in\mathbb{R}   por la derecha existe y es igual a   -\infty si podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan pequeño como queramos, eligiendo x lo suficientemente cercano a   x_0   por la derecha   \left( </p> <pre> \, x > x_0 \, </pre> <p>\right) .


Es decir

\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 / \left( </p> <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, x_0, \, x_0 + \delta \, \right) </pre> <p>\right)

Lo expresamos de la siguiente manera:


\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty


Cuando alguno de los limites laterales de \mathrm{f} cuando x tiende a   x_0   es infinito o menos infinito, la grafica de \mathrm{f} tiene una asintota vertical de ecuación   x = x_0 .


Limite de f(x) cuando x tiende a infinito


Limite finito


Se dice que el límite de la funcion   \mathrm{f} cuando   x   tiende a   \infty es   L \in \mathbb{R}   si cualquier sucesión   \left( \, x_n \, \right) _{n \in N}   que tiende a   \infty   verifica que   \lim_{n \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x_n \, \right) \, = \, L .


Lo expresamos como:


\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L


El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan cercano a   L   como queramos eligiendo   x   lo suficientemente grande.


Es decir

\forall \epsilon > 0, \quad \exists a \in \mathbb{R} / \left( </p> <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, </pre> <p>\right) \in \left( \, L - \epsilon, \, L + \epsilon \, \right), \, \quad \forall x \in \left( \, a, \, \infty \, \right) \right)


Si el límite de la funcion   \mathrm{f} cuando   x   tiende a   \infty es   L \in \mathbb{R} ,   entonces la gráfica de la función \mathrm{f} tiene una asintota horizontal por la derecha de ecuación   y = L .


Limite infinito


El límite de la función   \mathrm{f} cuando   x   tiende a   \infty   existe y es igual a   \infty si podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan grande como queramos, eligiendo x lo suficientemente grande.


Es decir

\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} / \left( </p> <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, </pre> <p>\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, a, \infty \, \right) \right)

Lo expresamos de la siguiente manera:


\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty


Limite menos infinito


El límite de la función   \mathrm{f} cuando   x   tiende a   \infty   existe y es igual a   -\infty si podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan pequeño como queramos, eligiendo x lo suficientemente pequeño.


Es decir

\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} / \left( </p> <pre> \, y > \mathrm{f} \left( \, x \, </pre> <p>\right), \, \quad \forall x \in \left( \, a, \, \infty \, \right) \right)

Lo expresamos de la siguiente manera:


\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty


Limite de f(x) cuando x tiende a menos infinito


Limite finito


Se dice que el límite de la funcion   \mathrm{f} cuando   x   tiende a   -\infty es   L \in \mathbb{R}   si cualquier sucesión   \left( \, x_n \, \right) _{n \in N}   que tiende a   -\infty   verifica que   \lim_{n \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x_n \, \right) \, = \, L .


Lo expresamos como:


\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L


El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan cercano a   L   como queramos eligiendo   x   lo suficientemente pequeño.


Es decir

\forall \epsilon > 0, \quad \exists a \in \mathbb{R} / \left( </p> <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, </pre> <p>\right) \in \left( \, L - \epsilon, \, L + \epsilon \, \right), \, \quad \forall x \in \left( \, -\infty, \, a \, \right) \right)


Si el límite de la funcion   \mathrm{f} cuando   x   tiende a   -\infty es   L \in \mathbb{R} ,   entonces la gráfica de la función \mathrm{f} tiene una asintota horizontal por la izquierda de ecuación   y = L .


Limite infinito


El límite de la función   \mathrm{f} cuando   x   tiende a   -\infty   existe y es igual a   \infty si podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan grande como queramos, eligiendo x lo suficientemente pequeño.


Es decir

\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} / \left( </p> <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, </pre> <p>\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, -\infty, \, a \, \right) \right)

Lo expresamos de la siguiente manera:


\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty


Limite menos infinito


El límite de la función   \mathrm{f} cuando   x   tiende a   -\infty   existe y es igual a   -\infty si podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan pequeño como queramos, eligiendo x lo suficientemente pequeño.


Es decir

\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} / \left( </p> <pre> \, y > \mathrm{f} \left( \, x \, </pre> <p>\right), \, \quad \forall x \in \left( \, -\infty, \, a \, \right) \right)

Lo expresamos de la siguiente manera:


\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty


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