Patrocinado por PHPDocX

Síguenos en Twitter

Buscar en WikilleratO
   

Límite de una función

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Revisión actual (05:11 19 ago 2010) (editar) (deshacer)
 
(13 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 1: Línea 1:
-
%% {{{ =limite
+
__TOC__
 +
 
 +
==Nota sobre terminología==
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Utilizamos la palabra '''''pequeño''''' ( '''''grande''''') de la siguiente manera:
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<math>
 +
a
 +
</math>
 +
es mas pequeño ( grande ) que
 +
<math>
 +
b
 +
</math>
 +
si y solo si
 +
&nbsp;
 +
<math>
 +
b > a \left( \, a > b \, \right)
 +
</math>.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Es decir,
 +
<math>
 +
a
 +
</math>
 +
es mas pequeño ( grande ) que
 +
<math>
 +
b
 +
</math>
 +
si
 +
<math>
 +
a
 +
</math>
 +
es menor ( mayor ) que
 +
<math>
 +
b
 +
</math>.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
La distancia entre dos puntos
 +
<math>
 +
a
 +
</math>
 +
y
 +
<math>
 +
b
 +
</math>
 +
de la recta real
 +
<math>
 +
\left(
 +
\, a, \, b \in \mathbb{R} \,
 +
\right)
 +
</math>
 +
es &nbsp;
 +
<math>
 +
\left| \, a - b \, \right|
 +
</math>.
 +
&nbsp; Cuanto mas pequeña sea esta distancia mas '''''proximos''''' o
 +
'''''cercanos''''' diremos que estan los puntos
 +
<math>
 +
a
 +
</math>
 +
y
 +
<math>
 +
b
 +
</math>.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Por ejemplo,
 +
<math>
 +
-1
 +
</math>
 +
esta mas cerca de
 +
<math>
 +
2
 +
</math>
 +
que el
 +
<math>
 +
7
 +
</math>
 +
ya que
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left| \, 2 - 7 \, \right| > \left| \, 2 - \left( -1 \right) \right|
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
==Limite de f(x) cuando x tiende a un número real==
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
===Limite finito===
 +
 
 +
<br/>
El límite de la función &nbsp;
El límite de la función &nbsp;
Línea 5: Línea 107:
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
, cuando &nbsp;
+
cuando &nbsp;
<math>
<math>
x
x
Línea 11: Línea 113:
&nbsp; tiende a &nbsp;
&nbsp; tiende a &nbsp;
<math>
<math>
-
x_0
+
x_0 \in\mathbb{R}
</math>
</math>
&nbsp; existe y es igual a &nbsp;
&nbsp; existe y es igual a &nbsp;
<math>
<math>
-
L
+
L \in \mathbb{R}
</math>
</math>
-
, si ambos [[Límites laterales|límites laterales]] existen y son iguales a
+
si ambos [[Límites laterales|límites laterales]] existen y son iguales a
&nbsp;
&nbsp;
<math>
<math>
-
L
+
L
</math>
</math>
, es decir
, es decir
Línea 53: Línea 155:
&nbsp; tan cercano a &nbsp;
&nbsp; tan cercano a &nbsp;
<math>
<math>
-
L
+
L
</math>
</math>
&nbsp; como queramos eligiendo &nbsp;
&nbsp; como queramos eligiendo &nbsp;
Línea 63: Línea 165:
x_0
x_0
</math>
</math>
-
, por la derecha o por la izquierda.
+
, &nbsp; por la derecha o por la izquierda.
<br/>
<br/>
-
----
+
===Limite infinito===
<br/>
<br/>
-
Se dice que el límite de la funcion &nbsp;
+
El límite de la función &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
, cuando &nbsp;
+
cuando &nbsp;
<math>
<math>
x
x
Línea 81: Línea 183:
&nbsp; tiende a &nbsp;
&nbsp; tiende a &nbsp;
<math>
<math>
-
+\infty
+
x_0 \in\mathbb{R}
</math>
</math>
-
, es &nbsp;
+
&nbsp; por la '''''izquierda''''' existe y es igual a &nbsp;
<math>
<math>
-
L
+
\infty
</math>
</math>
-
&nbsp; si cualquier sucesión &nbsp;
+
si podemos hacer &nbsp;
<math>
<math>
-
\left( \, x_n \, \right)
+
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
-
_{n \in N}
+
</math>
</math>
-
&nbsp; que tiende a &nbsp;
+
&nbsp; tan grande como queramos, eligiendo
<math>
<math>
-
+\infty
+
x
</math>
</math>
-
&nbsp; verifica que &nbsp;
+
lo suficientemente cercano a &nbsp;
<math>
<math>
-
\lim_{n \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x_n \, \right) \, = \, L
+
x_0
-
</math>.
+
</math>
-
 
+
&nbsp; por la izquierda &nbsp;
-
<br/>
+
<math>
-
 
+
\left( \, x_0 > x \, \right)
-
Lo expresamos como:
+
</math>
 +
.
<br/>
<br/>
 +
Es decir
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\lim_{x \to +\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L
+
\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 /
 +
\left(
 +
\, \mathrm{f} \left( \, x \,
 +
\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, x_0 - \delta, \, x_0 \, \right)
 +
\right)
</math>
</math>
</center>
</center>
 +
 +
Lo expresamos de la siguiente manera:
<br/>
<br/>
-
El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer &nbsp;
+
<center>
<math>
<math>
-
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
+
\lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty
</math>
</math>
-
&nbsp; tan cercano a &nbsp;
+
</center>
-
<math>
+
-
L
+
-
</math>
+
-
&nbsp; como queramos eligiendo &nbsp;
+
-
<math>
+
-
x
+
-
</math>
+
-
&nbsp; lo suficientemente grande.
+
<br/>
<br/>
-
----
+
Analogamente, el límite de la función &nbsp;
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Analogamente, se dice que el límite de la funcion &nbsp;
+
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
, cuando &nbsp;
+
cuando &nbsp;
<math>
<math>
x
x
Línea 145: Línea 242:
&nbsp; tiende a &nbsp;
&nbsp; tiende a &nbsp;
<math>
<math>
-
-\infty
+
x_0 \in\mathbb{R}
</math>
</math>
-
, es &nbsp;
+
&nbsp; por la '''''derecha''''' existe y es igual a &nbsp;
<math>
<math>
-
L
+
\infty
</math>
</math>
-
&nbsp; si cualquier sucesión &nbsp;
+
si podemos hacer &nbsp;
<math>
<math>
-
\left( \, x_n \, \right)
+
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
-
_{n \in N}
+
</math>
</math>
-
&nbsp; que tiende a &nbsp;
+
&nbsp; tan grande como queramos, eligiendo
<math>
<math>
-
-\infty
+
x
</math>
</math>
-
&nbsp; verifica que &nbsp;
+
lo suficientemente cercano a &nbsp;
<math>
<math>
-
\lim_{n \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x_n \, \right) \, = \, L
+
x_0
 +
</math>
 +
&nbsp; por la derecha &nbsp;
 +
<math>
 +
\left( \, x > x_0 \, \right)
</math>.
</math>.
<br/>
<br/>
-
Lo expresamos como:
+
Es decir
 +
<center>
 +
<math>
 +
\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 /
 +
\left(
 +
\, \mathrm{f} \left( \, x \,
 +
\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, x_0, \, x_0 + \delta \, \right)
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
Lo expresamos de la siguiente manera:
<br/>
<br/>
Línea 173: Línea 284:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L
+
\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 179: Línea 290:
<br/>
<br/>
-
El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer &nbsp;
+
====Ejemplo====
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Demostremos que
 +
<center>
<math>
<math>
-
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
+
\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty
</math>
</math>
-
&nbsp; tan cercano a &nbsp;
+
</center>
 +
 
 +
Para ello seleccionamos un &nbsp;
<math>
<math>
-
L
+
y \in \mathbb{R}
</math>
</math>
-
&nbsp; como queramos eligiendo &nbsp;
+
&nbsp; cualquiera e intentamos encontrar un &nbsp;
<math>
<math>
-
x
+
\delta > 0
</math>
</math>
-
&nbsp; lo suficientemente pequeño.
+
&nbsp; de manera que
-
 
+
<center>
-
<br/>
+
<math>
-
 
+
x \in \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x} > y
-
[[Category:Matemáticas]]
+
</math>
-
 
+
</center>
-
%% }}}
+
-
%% {{{ =continuidad de funciones
+
-
Una función &nbsp;
+
Si
<math>
<math>
-
\mathrm{f}
+
y
</math>
</math>
-
&nbsp; es '''''continua''''' en el punto &nbsp;
+
no es positivo, entonces cualquier &nbsp;
<math>
<math>
-
x \, = \, x_0
+
\delta > 0
</math>
</math>
-
&nbsp; si &nbsp;
+
&nbsp; verifica
 +
<center>
<math>
<math>
-
\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \,
+
x \in \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x} > y
-
\mathrm{f} \left( \, x_0 \, \right)
+
</math>
-
</math>.
+
</center>
-
<br/>
+
Si
-
 
+
-
El que una función &nbsp;
+
<math>
<math>
-
\mathrm{f}
+
y
</math>
</math>
-
&nbsp; sea continua en el punto &nbsp;
+
es positivo, entonces
 +
<center>
<math>
<math>
-
x \, = \, x_0
+
\frac{1}{x} > y \Leftrightarrow \frac{1}{y} > x > 0
</math>
</math>
-
&nbsp; implica que &nbsp;
+
</center>
 +
 
 +
Por lo tanto, si elegimos
 +
<center>
<math>
<math>
-
\mathrm{f} \left( \, x_0 \, \right)
+
\delta = \frac{1}{y}
</math>
</math>
-
&nbsp; existe y que &nbsp;
+
</center>
 +
se verifica que
 +
<center>
<math>
<math>
-
\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)
+
x \in \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x} > y
</math>
</math>
-
&nbsp; tambien existe.
+
</center>
<br/>
<br/>
-
Una función es '''''continua en un intervalo''''' si es continua en todos los puntos del
+
===Limite menos infinito===
-
intervalo.
+
<br/>
<br/>
-
Una función es '''''continua en todo su dominio''''' cuando lo es en todos los puntos que
+
El límite de la función &nbsp;
-
lo componen.
+
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
cuando &nbsp;
 +
<math>
 +
x
 +
</math>
 +
&nbsp; tiende a &nbsp;
 +
<math>
 +
x_0 \in\mathbb{R}
 +
</math>
 +
&nbsp; por la '''''izquierda''''' existe y es igual a &nbsp;
 +
<math>
 +
-\infty
 +
</math>
 +
si podemos hacer &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; tan pequeño como queramos, eligiendo
 +
<math>
 +
x
 +
</math>
 +
lo suficientemente cercano a &nbsp;
 +
<math>
 +
x_0
 +
</math>
 +
&nbsp; por la izquierda
 +
<math>
 +
\left( \, x_0 > x \, \right)
 +
</math>
 +
.
<br/>
<br/>
-
[[Category:Matemáticas]]
+
Es decir
 +
<center>
 +
<math>
 +
\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 /
 +
\left(
 +
\, y > \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \quad \forall x \in \left( \, x_0 - \delta, \, x_0 \, \right)
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
-
%% }}}
+
Lo expresamos de la siguiente manera:
-
%% {{{ =discontinuidades
+
-
==Definición==
+
<br/>
<br/>
-
Una función es '''''discontinua''''' en un punto &nbsp;
+
<center>
<math>
<math>
-
x \, = \, x_0
+
\lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty
</math>
</math>
-
&nbsp; si &nbsp;
+
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Analogamente, el límite de la función &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; no es continua en dicho punto.
+
cuando &nbsp;
 +
<math>
 +
x
 +
</math>
 +
&nbsp; tiende a &nbsp;
 +
<math>
 +
x_0 \in\mathbb{R}
 +
</math>
 +
&nbsp; por la '''''derecha''''' existe y es igual a &nbsp;
 +
<math>
 +
-\infty
 +
</math>
 +
si podemos hacer &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; tan pequeño como queramos, eligiendo
 +
<math>
 +
x
 +
</math>
 +
lo suficientemente cercano a &nbsp;
 +
<math>
 +
x_0
 +
</math>
 +
&nbsp; por la derecha &nbsp;
 +
<math>
 +
\left(
 +
\, x > x_0 \,
 +
\right)
 +
</math>.
<br/>
<br/>
-
==Tipos de discontinuidades==
+
Es decir
 +
<center>
 +
<math>
 +
\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 /
 +
\left(
 +
\, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, x_0, \, x_0 + \delta \, \right)
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
Lo expresamos de la siguiente manera:
<br/>
<br/>
-
===Discontinuidad evitable===
+
<center>
 +
<math>
 +
\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty
 +
</math>
 +
</center>
<br/>
<br/>
-
Una función &nbsp;
+
Cuando alguno de los limites laterales de
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; tiene una '''''discontinuidad evitable''''' en un punto &nbsp;
+
cuando
<math>
<math>
-
x \, = \, x_0
+
x
</math>
</math>
-
&nbsp; cuando existe el limite de la función en dicho punto.
+
tiende a &nbsp;
 +
<math>
 +
x_0
 +
</math>
 +
&nbsp; es infinito o menos infinito, la grafica de
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
tiene una [[Asintotas#Asintotas verticales|asintota vertical]] de ecuación &nbsp;
 +
<math>
 +
x = x_0
 +
</math>.
<br/>
<br/>
-
====Ejemplo====
+
==Limite de f(x) cuando x tiende a infinito==
<br/>
<br/>
-
La función &nbsp;
+
===Limite finito===
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Se dice que el límite de la funcion &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; definida por:
+
cuando &nbsp;
 +
<math>
 +
x
 +
</math>
 +
&nbsp; tiende a &nbsp;
 +
<math>
 +
\infty
 +
</math>
 +
es &nbsp;
 +
<math>
 +
L \in \mathbb{R}
 +
</math>
 +
&nbsp; si cualquier sucesión &nbsp;
 +
<math>
 +
\left( \, x_n \, \right)
 +
_{n \in N}
 +
</math>
 +
&nbsp; que tiende a &nbsp;
 +
<math>
 +
\infty
 +
</math>
 +
&nbsp; verifica que &nbsp;
 +
<math>
 +
\lim_{n \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x_n \, \right) \, = \, L
 +
</math>.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Lo expresamos como:
<br/>
<br/>
Línea 300: Línea 547:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \,
+
\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L
-
\left\{
+
-
\begin{array}[c]{rcl}
+
-
\frac{\displaystyle x^2 \, - \, 1}{\displaystyle x \, - \, 1} & , &
+
-
\quad \makebox{si}\quad x \neq 1
+
-
\\
+
-
3 & , & \quad \makebox{si} \quad x \, = \, 1
+
-
\end{array}
+
-
\right.
+
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 314: Línea 553:
<br/>
<br/>
-
no es continua en el punto &nbsp;
+
El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer &nbsp;
<math>
<math>
-
x \, = \, 1
+
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
</math>
</math>
-
&nbsp; porque &nbsp;
+
&nbsp; tan cercano a &nbsp;
<math>
<math>
-
\lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, 2
+
L
</math>
</math>
-
&nbsp; mientras que &nbsp;
+
&nbsp; como queramos eligiendo &nbsp;
<math>
<math>
-
\mathrm{f} \left( \, 1 \, \right) \, = \, 3
+
x
</math>
</math>
-
, es decir:
+
&nbsp; lo suficientemente grande.
<br/>
<br/>
 +
Es decir
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, \neq \,
+
\forall \epsilon > 0, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
-
\mathrm{f} \left( \, 1 \, \right)
+
\left(
 +
\, \mathrm{f} \left( \, x \,
 +
\right) \in \left( \, L - \epsilon, \, L + \epsilon \, \right), \, \quad \forall
 +
x \in \left( \, a, \, \infty \, \right)
 +
\right)
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 339: Línea 583:
<br/>
<br/>
-
Como &nbsp;
+
Si el límite de la funcion &nbsp;
<math>
<math>
-
\lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)
+
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; existe, la discontinuidad que &nbsp;
+
cuando &nbsp;
<math>
<math>
-
\mathrm{f}
+
x
</math>
</math>
-
&nbsp; tiene en el punto &nbsp;
+
&nbsp; tiende a &nbsp;
<math>
<math>
-
x \, = \, 1
+
\infty
</math>
</math>
-
&nbsp; es evitable.
+
es &nbsp;
 +
<math>
 +
L \in \mathbb{R}
 +
</math>,
 +
&nbsp; entonces la gráfica de la función
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
tiene una [[Asintotas#Asintotas horizontales|asintota horizontal]] por la
 +
derecha de ecuación &nbsp;
 +
<math>
 +
y = L
 +
</math>.
<br/>
<br/>
-
===Discontinuidad de primera especie===
+
===Limite infinito===
<br/>
<br/>
-
Una función presenta una '''''discontinuidad de primera especie''''' en el punto &nbsp;
+
El límite de la función &nbsp;
<math>
<math>
-
x \, = \, x_0
+
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; si los limites laterales de &nbsp;
+
cuando &nbsp;
<math>
<math>
-
f
+
x
</math>
</math>
-
&nbsp; en &nbsp;
+
&nbsp; tiende a &nbsp;
<math>
<math>
-
x \, = \, x_0
+
\infty
 +
</math>
 +
&nbsp; existe y es igual a &nbsp;
 +
<math>
 +
\infty
 +
</math>
 +
si podemos hacer &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; tan grande como queramos, eligiendo
 +
<math>
 +
x
</math>
</math>
-
&nbsp; existen pero son distintos, es decir:
+
lo suficientemente grande.
<br/>
<br/>
 +
Es decir
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, \neq \,
+
\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
-
\lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)
+
\left(
 +
\, \mathrm{f} \left( \, x \,
 +
\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, a, \infty \, \right)
 +
\right)
</math>
</math>
</center>
</center>
 +
 +
Lo expresamos de la siguiente manera:
<br/>
<br/>
-
====Ejemplo====
+
<center>
 +
<math>
 +
\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty
 +
</math>
 +
</center>
<br/>
<br/>
-
La función &nbsp;
+
===Limite menos infinito===
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
El límite de la función &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; definida por:
+
cuando &nbsp;
 +
<math>
 +
x
 +
</math>
 +
&nbsp; tiende a &nbsp;
 +
<math>
 +
\infty
 +
</math>
 +
&nbsp; existe y es igual a &nbsp;
 +
<math>
 +
-\infty
 +
</math>
 +
si podemos hacer &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; tan pequeño como queramos, eligiendo
 +
<math>
 +
x
 +
</math>
 +
lo suficientemente pequeño.
<br/>
<br/>
 +
Es decir
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \,
+
\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
-
\left\{
+
\left(
-
\begin{array}[c]{rcl}
+
\, y > \mathrm{f} \left( \, x \,
-
x^2 \, + \, 1 & , & \quad \makebox{si} \quad 1 \ge x
+
\right), \, \quad \forall x \in \left( \, a, \, \infty \, \right)
-
\\
+
\right)
-
x \, - \, 1 & , & \quad \makebox{si} \quad x \, > \, 1
+
-
\end{array}
+
-
\right.
+
</math>
</math>
</center>
</center>
 +
 +
Lo expresamos de la siguiente manera:
<br/>
<br/>
-
no es continua en el punto &nbsp;
+
<center>
-
<math>
+
-
x \, = \, 1
+
-
</math>
+
-
&nbsp; porque &nbsp;
+
<math>
<math>
-
\lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)
+
\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty
</math>
</math>
-
&nbsp; no existe, al ser ambos limites laterales distintos:
+
</center>
<br/>
<br/>
-
<center>
+
==Limite de f(x) cuando x tiende a menos infinito==
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
===Limite finito===
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Se dice que el límite de la funcion &nbsp;
<math>
<math>
-
\lim_{x \to 1^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, 0
+
\mathrm{f}
</math>
</math>
 +
cuando &nbsp;
 +
<math>
 +
x
 +
</math>
 +
&nbsp; tiende a &nbsp;
 +
<math>
 +
-\infty
 +
</math>
 +
es &nbsp;
 +
<math>
 +
L \in \mathbb{R}
 +
</math>
 +
&nbsp; si cualquier sucesión &nbsp;
 +
<math>
 +
\left( \, x_n \, \right)
 +
_{n \in N}
 +
</math>
 +
&nbsp; que tiende a &nbsp;
 +
<math>
 +
-\infty
 +
</math>
 +
&nbsp; verifica que &nbsp;
 +
<math>
 +
\lim_{n \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x_n \, \right) \, = \, L
 +
</math>.
<br/>
<br/>
 +
Lo expresamos como:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
<math>
<math>
-
\lim_{x \to 1^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, 2
+
\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 437: Línea 773:
<br/>
<br/>
-
Como ambos limites laterales existen, la discontinuidad que &nbsp;
+
El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer &nbsp;
<math>
<math>
-
\mathrm{f}
+
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
</math>
</math>
-
&nbsp; tiene en el punto &nbsp;
+
&nbsp; tan cercano a &nbsp;
<math>
<math>
-
x \, = \, 1
+
L
</math>
</math>
-
&nbsp; es de primera especie.
+
&nbsp; como queramos eligiendo &nbsp;
 +
<math>
 +
x
 +
</math>
 +
&nbsp; lo suficientemente pequeño.
<br/>
<br/>
-
===Discontinuidad de segunda especie===
+
Es decir
 +
<center>
 +
<math>
 +
\forall \epsilon > 0, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
 +
\left(
 +
\, \mathrm{f} \left( \, x \,
 +
\right) \in \left( \, L - \epsilon, \, L + \epsilon \, \right), \, \quad \forall x \in \left( \, -\infty, \, a \, \right)
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
<br/>
<br/>
-
Una función &nbsp;
+
Si el límite de la funcion &nbsp;
<math>
<math>
-
f
+
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; presenta una '''''discontinuidad de segunda especie''''' en el punto &nbsp;
+
cuando &nbsp;
<math>
<math>
-
x \, = \, x_0
+
x
</math>
</math>
-
&nbsp; si no existe alguno de los limites laterales de &nbsp;
+
&nbsp; tiende a &nbsp;
<math>
<math>
-
f
+
-\infty
</math>
</math>
-
&nbsp; en dicho punto.
+
es &nbsp;
 +
<math>
 +
L \in \mathbb{R}
 +
</math>,
 +
&nbsp; entonces la gráfica de la función
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
tiene una [[Asintotas#Asintotas horizontales|asintota horizontal]] por la
 +
izquierda de ecuación &nbsp;
 +
<math>
 +
y = L
 +
</math>.
<br/>
<br/>
-
====Ejemplo====
+
===Limite infinito===
<br/>
<br/>
-
La función &nbsp;
+
El límite de la función &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; definida por:
+
cuando &nbsp;
 +
<math>
 +
x
 +
</math>
 +
&nbsp; tiende a &nbsp;
 +
<math>
 +
-\infty
 +
</math>
 +
&nbsp; existe y es igual a &nbsp;
 +
<math>
 +
\infty
 +
</math>
 +
si podemos hacer &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; tan grande como queramos, eligiendo
 +
<math>
 +
x
 +
</math>
 +
lo suficientemente pequeño.
<br/>
<br/>
 +
Es decir
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \,
+
\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
-
\left\{
+
\left(
-
\begin{array}[c]{rcl}
+
\, \mathrm{f} \left( \, x \,
-
\frac{1}{x} & , & \quad \makebox{si} \quad 0 \ge x
+
\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, -\infty, \, a \, \right)
-
\\
+
\right)
-
1 & , & \quad \makebox{si} \quad x \, > \, 0
+
-
\end{array}
+
-
\right.
+
</math>
</math>
</center>
</center>
 +
 +
Lo expresamos de la siguiente manera:
<br/>
<br/>
-
no es continua en el punto &nbsp;
+
<center>
<math>
<math>
-
x \, = \, 0
+
\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty
</math>
</math>
-
&nbsp; porque &nbsp;
+
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
===Limite menos infinito===
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
El límite de la función &nbsp;
<math>
<math>
-
\lim_{x \to 0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)
+
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; no existe, al no existir el limite por la izquierda de &nbsp;
+
cuando &nbsp;
<math>
<math>
-
\mathrm{f}
+
x
</math>
</math>
-
&nbsp; cuando &nbsp;
+
&nbsp; tiende a &nbsp;
<math>
<math>
-
x \to 0
+
-\infty
-
</math>:
+
</math>
 +
&nbsp; existe y es igual a &nbsp;
 +
<math>
 +
-\infty
 +
</math>
 +
si podemos hacer &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; tan pequeño como queramos, eligiendo
 +
<math>
 +
x
 +
</math>
 +
lo suficientemente pequeño.
<br/>
<br/>
 +
Es decir
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\lim_{x \to 0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty
+
\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
 +
\left(
 +
\, y > \mathrm{f} \left( \, x \,
 +
\right), \, \quad \forall x \in \left( \, -\infty, \, a \, \right)
 +
\right)
</math>
</math>
</center>
</center>
 +
 +
Lo expresamos de la siguiente manera:
<br/>
<br/>
-
Como este limite por la izquierda no existe&nbsp;
+
<center>
<math>
<math>
-
\mathrm{f}
+
\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty
</math>
</math>
-
&nbsp; tiene en el punto &nbsp;
+
</center>
-
<math>
+
-
x \, = \, 0
+
-
</math>
+
-
&nbsp; una discontinuidad de segunda especie.
+
<br/>
<br/>
[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]

Revisión actual

Tabla de contenidos


Nota sobre terminología


Utilizamos la palabra pequeño ( grande) de la siguiente manera:


a es mas pequeño ( grande ) que b si y solo si   b > a \left( \, a > b \, \right) .


Es decir, a es mas pequeño ( grande ) que b si a es menor ( mayor ) que b .


La distancia entre dos puntos a y b de la recta real \left( </p> <pre> \, a, \, b \in \mathbb{R} \, </pre> <p>\right) es   \left| \, a - b \, \right| .   Cuanto mas pequeña sea esta distancia mas proximos o cercanos diremos que estan los puntos a y b .


Por ejemplo, -1 esta mas cerca de 2 que el 7 ya que

\left| \, 2 - 7 \, \right| > \left| \, 2 - \left( -1 \right) \right|


Limite de f(x) cuando x tiende a un número real


Limite finito


El límite de la función   \mathrm{f} cuando   x   tiende a   x_0 \in\mathbb{R}   existe y es igual a   L \in \mathbb{R} si ambos límites laterales existen y son iguales a   L , es decir


\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L


Lo expresamos de la siguiente manera:


\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L


El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan cercano a   L   como queramos eligiendo   x   lo suficientemente proximo a   x_0 ,   por la derecha o por la izquierda.


Limite infinito


El límite de la función   \mathrm{f} cuando   x   tiende a   x_0 \in\mathbb{R}   por la izquierda existe y es igual a   \infty si podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan grande como queramos, eligiendo x lo suficientemente cercano a   x_0   por la izquierda   \left( \, x_0 > x \, \right) .


Es decir

\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 / \left( </p> <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, </pre> <p>\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, x_0 - \delta, \, x_0 \, \right) \right)

Lo expresamos de la siguiente manera:


\lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty


Analogamente, el límite de la función   \mathrm{f} cuando   x   tiende a   x_0 \in\mathbb{R}   por la derecha existe y es igual a   \infty si podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan grande como queramos, eligiendo x lo suficientemente cercano a   x_0   por la derecha   \left( \, x > x_0 \, \right) .


Es decir

\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 / \left( </p> <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, </pre> <p>\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, x_0, \, x_0 + \delta \, \right) \right)

Lo expresamos de la siguiente manera:


\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty


Ejemplo


Demostremos que

\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty

Para ello seleccionamos un   y \in \mathbb{R}   cualquiera e intentamos encontrar un   \delta > 0   de manera que

x \in \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x} > y

Si y no es positivo, entonces cualquier   \delta > 0   verifica

x \in \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x} > y

Si y es positivo, entonces

\frac{1}{x} > y \Leftrightarrow \frac{1}{y} > x > 0

Por lo tanto, si elegimos

\delta = \frac{1}{y}

se verifica que

x \in \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x} > y


Limite menos infinito


El límite de la función   \mathrm{f} cuando   x   tiende a   x_0 \in\mathbb{R}   por la izquierda existe y es igual a   -\infty si podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan pequeño como queramos, eligiendo x lo suficientemente cercano a   x_0   por la izquierda \left( \, x_0 > x \, \right) .


Es decir

\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 / \left( </p> <pre> \, y > \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \quad \forall x \in \left( \, x_0 - \delta, \, x_0 \, \right) </pre> <p>\right)

Lo expresamos de la siguiente manera:


\lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty


Analogamente, el límite de la función   \mathrm{f} cuando   x   tiende a   x_0 \in\mathbb{R}   por la derecha existe y es igual a   -\infty si podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan pequeño como queramos, eligiendo x lo suficientemente cercano a   x_0   por la derecha   \left( </p> <pre> \, x > x_0 \, </pre> <p>\right) .


Es decir

\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 / \left( </p> <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, x_0, \, x_0 + \delta \, \right) </pre> <p>\right)

Lo expresamos de la siguiente manera:


\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty


Cuando alguno de los limites laterales de \mathrm{f} cuando x tiende a   x_0   es infinito o menos infinito, la grafica de \mathrm{f} tiene una asintota vertical de ecuación   x = x_0 .


Limite de f(x) cuando x tiende a infinito


Limite finito


Se dice que el límite de la funcion   \mathrm{f} cuando   x   tiende a   \infty es   L \in \mathbb{R}   si cualquier sucesión   \left( \, x_n \, \right) _{n \in N}   que tiende a   \infty   verifica que   \lim_{n \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x_n \, \right) \, = \, L .


Lo expresamos como:


\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L


El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan cercano a   L   como queramos eligiendo   x   lo suficientemente grande.


Es decir

\forall \epsilon > 0, \quad \exists a \in \mathbb{R} / \left( </p> <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, </pre> <p>\right) \in \left( \, L - \epsilon, \, L + \epsilon \, \right), \, \quad \forall x \in \left( \, a, \, \infty \, \right) \right)


Si el límite de la funcion   \mathrm{f} cuando   x   tiende a   \infty es   L \in \mathbb{R} ,   entonces la gráfica de la función \mathrm{f} tiene una asintota horizontal por la derecha de ecuación   y = L .


Limite infinito


El límite de la función   \mathrm{f} cuando   x   tiende a   \infty   existe y es igual a   \infty si podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan grande como queramos, eligiendo x lo suficientemente grande.


Es decir

\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} / \left( </p> <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, </pre> <p>\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, a, \infty \, \right) \right)

Lo expresamos de la siguiente manera:


\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty


Limite menos infinito


El límite de la función   \mathrm{f} cuando   x   tiende a   \infty   existe y es igual a   -\infty si podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan pequeño como queramos, eligiendo x lo suficientemente pequeño.


Es decir

\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} / \left( </p> <pre> \, y > \mathrm{f} \left( \, x \, </pre> <p>\right), \, \quad \forall x \in \left( \, a, \, \infty \, \right) \right)

Lo expresamos de la siguiente manera:


\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty


Limite de f(x) cuando x tiende a menos infinito


Limite finito


Se dice que el límite de la funcion   \mathrm{f} cuando   x   tiende a   -\infty es   L \in \mathbb{R}   si cualquier sucesión   \left( \, x_n \, \right) _{n \in N}   que tiende a   -\infty   verifica que   \lim_{n \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x_n \, \right) \, = \, L .


Lo expresamos como:


\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L


El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan cercano a   L   como queramos eligiendo   x   lo suficientemente pequeño.


Es decir

\forall \epsilon > 0, \quad \exists a \in \mathbb{R} / \left( </p> <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, </pre> <p>\right) \in \left( \, L - \epsilon, \, L + \epsilon \, \right), \, \quad \forall x \in \left( \, -\infty, \, a \, \right) \right)


Si el límite de la funcion   \mathrm{f} cuando   x   tiende a   -\infty es   L \in \mathbb{R} ,   entonces la gráfica de la función \mathrm{f} tiene una asintota horizontal por la izquierda de ecuación   y = L .


Limite infinito


El límite de la función   \mathrm{f} cuando   x   tiende a   -\infty   existe y es igual a   \infty si podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan grande como queramos, eligiendo x lo suficientemente pequeño.


Es decir

\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} / \left( </p> <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, </pre> <p>\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, -\infty, \, a \, \right) \right)

Lo expresamos de la siguiente manera:


\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty


Limite menos infinito


El límite de la función   \mathrm{f} cuando   x   tiende a   -\infty   existe y es igual a   -\infty si podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan pequeño como queramos, eligiendo x lo suficientemente pequeño.


Es decir

\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} / \left( </p> <pre> \, y > \mathrm{f} \left( \, x \, </pre> <p>\right), \, \quad \forall x \in \left( \, -\infty, \, a \, \right) \right)

Lo expresamos de la siguiente manera:


\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty


Obtenido de "http://wikillerato.org/L%C3%ADmite_de_una_funci%C3%B3n.html"
   
 
ASIGNATURAS
 MatemáticasFísicaQuímicaBiologíaDibujoHistoriaLengua y LiteraturaHistoria del ArteFilosofía
Creative Commons License
Los contenidos de Wikillerato están disponibles bajo una licencia de Creative Commons.
Pueden utilizarse y redistribuirse libremente siempre que se reconozca su procedencia.