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¿Qué es una matriz?

De Wikillerato

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  se puede denotar tambien como  
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\quad A = \left( a_{ij} \right) \quad
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\quad \mathbf{A} = \left( a_{ij} \right) \quad
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&nbsp; donde
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El conjunto de matrices de dimension &nbsp;
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==Tipos de matrices==
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==Matrices cuadradas==
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El conjunto de matrices de dimension &nbsp;
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Las matrices cuadradas son aquellas que tienen el mismo número de filas que de
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En las matrices cuadradas tenemos:
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Las matrices de este conjunto se llaman matrices cuadradas y en ellas definimos:
 
* la diagonal principal formada por los elementos de la forma &nbsp;
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*la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma &nbsp;
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* la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma &nbsp;
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a_{ij}
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Una '''''matriz rectangular''''' es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas
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===Matriz rectangular===
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====Ejemplo de matriz rectangular====
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1 \times n
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m \times 1
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Una '''''matriz nula''''' es una matriz rectangular con todos sus elementos nulos. Se denota
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Una '''''matriz nula''''' es una matriz cuyos elementos sont todos nulos. Se denota
por &nbsp;
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\mathbf{0}
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m \times n
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Una '''''matriz triangular superior''''' es una matriz cuadrada en la que todos los terminos
situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
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Una '''''matriz triangular inferior''''' es una matriz cuadrada en la que todos los terminos
situados por encima de la diagonal principal son ceros.
situados por encima de la diagonal principal son ceros.
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====Ejemplo de matriz triangular inferior====
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'''''Matriz diagonal''''' es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
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===Matriz diagonal===
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no situados en la diagonal principal son ceros.
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Una '''''matriz diagonal''''' es una matriz cuadrada en la que todos los terminos
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NO situados en la diagonal principal son ceros.
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====Ejemplo de matriz diagonal====
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'''''Matriz escalar''''' es toda matriz diagonal en la que todos los terminos
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===Matriz escalar===
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Una '''''matriz escalar''''' es una matriz diagonal en la que todos los terminos
de la diagonal principal son iguales.
de la diagonal principal son iguales.
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====Ejemplo de matriz escalar====
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====Ejemplo====
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'''''Matriz unidad o identidad''''' es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son
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==Matriz unidad o identidad==
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Una '''''matriz unidad o identidad''''' es una matriz escalar cuyos elementos en la diagonal principal son
todos 1.
todos 1.
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====Ejemplo====
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Revisión de 08:07 3 oct 2010


Tabla de contenidos


Definición de matriz


Una matriz es un cuadrado o tabla de numeros ordenados. Se llama matriz de dimension   m \times n   a un conjunto de números reales dispuestos en   m   filas y   n   columnas de la siguiente forma  


\left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cccc} a_{11 }& a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21 }& a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1 }& a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{array} </pre> <p>\right)


La matriz   \mathbf{A}   se puede denotar tambien como   \quad \mathbf{A} = \left( a_{ij} \right) \quad   donde


\left\{ </p> <pre> \begin{array}[c]{l} i = 1, \, 2, \, \ldots, \, m \\ j = 1, \, 2, \, \ldots, \, n \end{array} </pre> <p>\right.


a_{ij} designa un elemento generico de la matriz   \mathbf{A} ,   el elemento que se encuentra en la i-esima fila y j-esima columna.


Tipos de matrices


Matrices cuadradas


Las matrices cuadradas son aquellas que tienen el mismo número de filas que de columnas.


En las matrices cuadradas tenemos:


  • la diagonal principal formada por los elementos de la forma  

a_{ii}  

  • la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma  

a_{ij}   tales que   i + j = n + 1


Image:diagonales.gif



Matriz rectangular


Una matriz rectangular es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas. Si una matriz NO es cuadrada tiene que ser rectangular.


Ejemplo de matriz rectangular


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 1 & -1 & ~~0 \\ 2 & ~~3 & -1 \end{array} \right) </pre> <p>


Matriz fila


Una matriz fila es una matriz con una sola fila. Su dimensi\'on es   1 \times n .


Ejemplo


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} -1 & 3 & 5 \end{array} \right) </pre> <p>


Matriz columna


Una matriz columna es una matriz rectangular con una sola columna. Su dimension es   m \times 1 .


Ejemplo


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{c} -1 \\ ~~3 \end{array} \right) </pre> <p>


Ejemplo


Una matriz nula es una matriz cuyos elementos sont todos nulos. Se denota por   \mathbf{0}_{m \times n} .


Donde   m \times n   es la dimensión de la matriz.


Ejemplo


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) </pre> <p>


Matriz triangular superior


Una matriz triangular superior es una matriz cuadrada en la que todos los terminos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.


Ejemplo


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 1 & -1 & ~~0 \\ 0 & ~~3 & -1 \\ 0 & ~~0 & ~~2 \end{array} \right) </pre> <p>


Matriz triangular inferior


Una matriz triangular inferior es una matriz cuadrada en la que todos los terminos situados por encima de la diagonal principal son ceros.


Ejemplo


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 2 & ~~0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \end{array} \right) </pre> <p>



Matriz diagonal


Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en la que todos los terminos NO situados en la diagonal principal son ceros.


Ejemplo


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} ~~2 & ~~0 & ~~0 \\ ~~0 & -1 & ~~0 \\ ~~0 & ~~0 & ~~3 \end{array} \right) </pre> <p>


Matriz escalar


Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que todos los terminos de la diagonal principal son iguales.


Ejemplo


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 2 & {0} & {0} \\ {0} & 2 & {0} \\ {0} & {0} & 2 \end{array} \right) </pre> <p>


Matriz unidad o identidad


Una matriz unidad o identidad es una matriz escalar cuyos elementos en la diagonal principal son todos 1.


Ejemplo


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 1 & {0} & {0} \\ {0} & 1 & {0} \\ {0} & {0} & 1 \end{array} \right) </pre> <p>


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