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Desarrollo de un determinante

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En esta sección se explica un procedimiento que nos permite calcular determinantes de
cualquier orden, pero antes hemos de introducir los conceptos de '''''menor complementario''''', '''''adjunto''''' y '''''matriz adjunta'''''.
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Revisión de 10:43 3 oct 2010

En esta sección se explica un procedimiento que nos permite calcular determinantes de cualquier orden, pero antes hemos de introducir los conceptos de menor complementario, adjunto y matriz adjunta.


Tabla de contenidos

Menor complementario


En una matriz cuadrada de orden   n, \, \mathbf{A} = \left( \, a_{ij} \, \right),   se llama menor complementario del elemento   a_{ij},   y lo representamos por   \alpha_{ij},   al determinante de la matriz cuadrada de orden   n - 1   que resulta de suprimir la fila   i   y la columna   j   de la matriz   \mathbf{A}


En una matriz cuadrada de orden   n, \, \mathbf{A} = \left( \, a_{ij} \, \right),   se llama adjunto del elemento   a_{ij}, ,   y lo representamos por   A_{ij},   al producto   \left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij} :


A_{ij} = \left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij}


Ejemplo


Los menores complementarios de la matriz


\mathbf{A} = \left( </p> <pre> \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array} </pre> <p>\right)


son


\begin{array}{ccc} \alpha_{11} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{array} </pre> <p>\right| & \qquad \alpha_{12} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{array} </pre> <p>\right| & \qquad \alpha_{13} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} </pre> <p>\right| \\ & & \\ \alpha_{21} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{array} </pre> <p>\right| & \qquad \alpha_{22} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{array} </pre> <p>\right| & \qquad \alpha_{23} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{array} </pre> <p>\right| \end{array}


\begin{array}[c]{ccc} \alpha_{31} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{array} </pre> <p>\right| & \qquad \alpha_{32} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{array} </pre> <p>\right| & \qquad \alpha_{33} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{array} </pre> <p>\right| \end{array}


Ejemplo


Los adjuntos de la matriz   \mathbf{A}   del ejemplo anterior son:


\begin{array}{ccccccccccc} A_{11} & = & -3 & \qquad & A_{12} & = & ~~~6 & \qquad & A_{13} & = & -3 \\ A_{21} & = & ~~6 & \qquad & A_{22} & = & -12 & \qquad & A_{23} & = & ~~6 \\ A_{31} & = & -3 & \qquad & A_{32} & = & ~~~6 & \qquad & A_{33} & = & -3 &\end{array}


La matriz adjunta de   \mathbf{A}   es


\makebox{Adj} \left( \mathbf{A} \right) = \left( </p> <pre> \begin{array}{ccc} </pre> <p>-3 & ~~~6 & -3 \\ ~~6 & -12 & ~~6 \\ -3 & ~~~6 & -3 \end{array} \right)


Desarrollo de un determinante


El determinante de una matriz cuadrada de orden   n   es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea o columna cualquiera por sus adjuntos respectivos. Simbolicamente:

\makebox{det} \left( \, \mathbf{A} \, \right) \, = \, a_{i1} \cdot A_{i1} + a_{i2} \cdot A_{i2} + \ldots + a_{in} \cdot A_{in}

\makebox{det} \left( \, \mathbf{A} \, \right) \, = \, a_{1j} \cdot A_{1j} + a_{2j} \cdot A_{2j} + \ldots + a_{nj} \cdot A_{nj}


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