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Puntos y rectas notables de los triángulos

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
(→Suma de vectores)
(→Triángulo órtico y circunferencia de Feuerbach)
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KABRON !!!!!
KABRON !!!!!
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===Triángulo órtico y circunferencia de Feuerbach===
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Sois to tontos !!!!!
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El triángulo <math>HaHbHc</math> que tiene como vértices los pies de las alturas de un triángulo <math>ABC</math> se llama triángulo '''órtico. '''
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Las bisectrices del triángulo '''órtico''' de <math>ABC</math> están en las mismas rectas que contienen a las alturas de dicho triángulo.
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La circunferencia '''circunscrita al órtico''' de <math>ABC</math> se llama circunferencia de '''Feuerbach o circunferencia de los nueve puntos''' ya que pasa también por los puntos medios de los lados de <math>ABC, \ M, \ N</math> y <math>P</math> y por los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro con los vértices de <math>ABC, \ X, \ Y</math> y <math>Z</math>.
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[[Imagen:DibujoTecnico_I-2_24.gif]]
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Sea <math>HaHbHc</math> es el triángulo '''órtico''' de un triángulo desconocido <math>ABC</math>. Al hallar <math>ABC</math> vamos a ver que existen cuatro soluciones, lo que indica que cada '''órtico''' y cada circunferencia de '''Feuerbach''' pueden pertenecer a cuatro triángulos distintos.
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Dibujamos las bisectrices de <math>ABC</math>, que coinciden con las alturas de <math>ABC</math>. Trazamos por <math>Ha, Hb</math> y <math>Hc</math> perpendiculares a tales bisectrices, que son los lados del triángulo buscado, <math>ABC</math>. Esta es la primera solución. Señalamos el '''ortocentro''' <math>O \ </math> y la circunferencia de '''Feuerbach. '''
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[[Imagen:DibujoTecnico_I-2_25.gif]]
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Las otras soluciones son los tres triángulos obtusángulos que obtenemos al considerar como lados las alturas de <math>ABC</math>, como <math>ABD</math>, cuyo ortocentro coincide con el vértice <math>C</math>. Las otras soluciones serían <math>ACD</math>, con ortocentro en <math>B</math> y <math>BCD</math>, con ortocentro en <math>A</math>.
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[[Imagen:DibujoTecnico_I-2_26.gif]]
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===Recta de Simson===
===Recta de Simson===

Revisión de 09:49 5 oct 2010

hgggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg gg g g g g g g g g gvgvgi fk

Tabla de contenidos

Propiedades relativas a las rectas y puntos notables de los triángulos

KABRON !!!!!

Sois to tontos !!!!!

Recta de Simson

Sea un triángulo ABC y su circunferencia circunscrita. Si trazamos rectas perpendiculares a los lados de ABC desde un punto arbitrario P de la circunferencia, los pies de dichas perpendiculares están alineados en una recta que se llama recta de Simson.

Si unimos P con el ortocentro de ABC el punto medio M del segmento obtenido está sobre la recta de Simson y sobre la circunferencia de Feuerbach de ABC.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_27.gif

Recta de Euler

La recta definida por el circuncentro y el ortocentro de un triángulo ABC se llama recta de Euler. La recta de Euler contiene también al baricentro y al centro de la circunferencia de Feuerbach, X.

La distancia entre el baricentro y el circuncentro es la mitad de la distancia entre el baricentro y el ortocentro: BC = BO/2.

El centro de la circunferencia de Feuerbach es el punto medio de CO, segmento definido por el circuncentro y el ortocentro.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_28.gif

Propiedad de las mediatrices y las bisectrices

Sea un triángulo ABC. La bisectriz de cada ángulo se corta con la mediatriz del lado opuesto en un punto de la circunferencia circunscrita.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_29.gif

Circunferencia exinscritas y exincentros de un triángulo

Trazamos las bisectrices de los ángulos exteriores de un triángulo ABC.

Estas bisectrices serán perpendiculares en cada vértice a las bisectrices del ángulo interior del mismo, ya que los ángulos son suplementarios. Se cortarán dos a dos en tres puntos llamados exincentros que son los centros de las tres circunferencias exinscritas al triángulo.

Estas circunferencias son tangentes a las tres rectas definidas por los vértices A, B \ y \ C.

El triángulo definido por los exincentros tiene como triángulo órtico a ABC.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_30_thumb.gif

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Teorema de Feuerbach

El teorema de Feuerbach dice: “La circunferencia de Feuerbach de un triángulo ABC es tangente común a la circunferencia inscrita y a las tres circunferencias exinscritas de ABC”.

Para comprobarlo trazamos dichas circunferencias y hallamos los puntos de tangencia respectivos uniendo ordenadamente sus centros.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_31_thumb.gif

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Obtenido de "http://wikillerato.org/Puntos_y_rectas_notables_de_los_tri%C3%A1ngulos.html"
   
 
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