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Ángulo entre dos rectas

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
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==Ángulo entre dos rectas==
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==Ángulo entre una recta y un plano==
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El ángulo entre dos rectas
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El ángulo
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\alpha
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que forma una recta
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r
r
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y
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cuyo vector director es
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s
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\mathbf{u}
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del espacio es el menor angulo entre las rectas que se obtienen al proyectar
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y un plano
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r
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\pi
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y
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cuyo ángulo normal es
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s
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\mathbf{n}
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en un mismo plano paralelo a las dos rectas.
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es complementario al ángulo que forman
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Las proyecciones de ambas rectas se encuentran en un mismo plano, mientras que
+
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r
r
Línea 27: Línea 30:
y
y
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s
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\mathbf{n}
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no tienen porque encontrarse en un mismo plano.
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Dos rectas en el plano forman dos angulos, uno menor, llamemoslos, por ejemplo,
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Por lo tanto, se tiene que
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\alpha
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\cos \left( \, 90 - \alpha \, \right) =
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\frac{\left| \, \mathbf{n}, \, \mathbf{u} \, \right|}{\left| \, \mathbf{n} \, \right| \cdot \left| \, \mathbf{u} \, \right|}}
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y otro mayor, que seria el suplementario de
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Podemos obtener un vector director de la recta
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\alpha
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r
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multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano:
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180 - \alpha
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0 = x - 2y + 3z
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por un vector perpendicular del plano
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[[Imagen:anguloRectas.png]]
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0 = 2x - y + 4
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Un vector perpendicular al plano
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El ángulo entre dos rectas
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r
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0 = x - 2y + 3z
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y
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lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuacion anterior:
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s
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\mathbf{n} = \left( \, 1, \, -2, \, 3 \, \right)
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cuyos vectores directores son, respectivamente,
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De la misma forma obtenemos un vector perpendicular al otro plano
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\mathbf{u}
+
\mathbf{n^\prime} = \left( \, 2, \, -1, \, 0 \, \right)
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&nbsp; y &nbsp;
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El producto vectorial de ambos vectores,
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\mathbf{n}
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y
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\mathbf{v}
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\mathbf{n}^\prime
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&nbsp; se puede calcular con la siguiente fórmula:
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es
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\cos \left( \, \widehat{r,s} \, \right) = \frac{\left| \, \mathbf{u}, \,
+
\left|
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\mathbf{v} \, \right|}{\left| \, \mathbf{u} \, \right| \cdot \left| \, \mathbf{v} \, \right|}}
+
\begin{array}{ccc}
 +
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}
 +
\\
 +
1 & -2 & 3
 +
\\
 +
2 & -1 & 0
 +
\end{array}
 +
\right| = \left( \, 3, \, -6, \, 3 \, \right)
</math>
</math>
</center>
</center>
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Calculando el arccos del resultado obtenido aplicando la fórmula anterior se
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donde la segunda fila es
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obtiene el ángulo que forman las retas
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r
+
\mathbf{n}
</math>
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y
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y la tercera es
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s
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\mathbf{n}^\prime
</math>.
</math>.
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<br/>
[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]

Revisión de 12:16 24 oct 2010

Ángulo entre una recta y un plano


El ángulo \alpha que forma una recta r cuyo vector director es \mathbf{u} y un plano \pi cuyo ángulo normal es \mathbf{n} es complementario al ángulo que forman r y \mathbf{n} .


Por lo tanto, se tiene que

\cos \left( \, 90 - \alpha \, \right) = \frac{\left| \, \mathbf{n}, \, \mathbf{u} \, \right|}{\left| \, \mathbf{n} \, \right| \cdot \left| \, \mathbf{u} \, \right|}}

Podemos obtener un vector director de la recta r multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano:

0 = x - 2y + 3z

por un vector perpendicular del plano

0 = 2x - y + 4

Un vector perpendicular al plano

0 = x - 2y + 3z

lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuacion anterior:

\mathbf{n} = \left( \, 1, \, -2, \, 3 \, \right)

De la misma forma obtenemos un vector perpendicular al otro plano

\mathbf{n^\prime} = \left( \, 2, \, -1, \, 0 \, \right)

El producto vectorial de ambos vectores, \mathbf{n} y \mathbf{n}^\prime es

\left| </p> <pre> \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & -1 & 0 \end{array} </pre> <p>\right| = \left( \, 3, \, -6, \, 3 \, \right)

donde la segunda fila es \mathbf{n} y la tercera es \mathbf{n}^\prime .


Obtenido de "http://wikillerato.org/%C3%81ngulo_entre_dos_rectas.html"
   
 
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