Patrocinado por PHPDocX

Síguenos en Twitter

Buscar en WikilleratO
   

Problemas de distancias

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
(Página nueva: ==Distancia entre dos puntos== <br/> La distancia entre dos puntos &nbsp; <math> P = \left( \, x, \, y, \, z \, \right) </math> &nbsp; y &nbsp; <math> P^\prime = \left( \, x^\prim...)
Línea 12: Línea 12:
P^\prime = \left( \, x^\prime, \, y^\prime, \, z^\prime \, \right)
P^\prime = \left( \, x^\prime, \, y^\prime, \, z^\prime \, \right)
</math>
</math>
-
es
+
&nbsp; es
<center>
<center>
<math>
<math>
Línea 30: Línea 30:
<br/>
<br/>
-
La distancia entre un punto
+
La distancia de un punto
<math>
<math>
P
P
</math>
</math>
-
y una recta
+
a una recta
<math>
<math>
r
r
Línea 53: Línea 53:
<br/>
<br/>
-
==Ejemplo==
+
===Ejemplo===
<br/>
<br/>
Línea 61: Línea 61:
P = \left( \, 2, \, 1, \, 0 \, \right)
P = \left( \, 2, \, 1, \, 0 \, \right)
</math>
</math>
-
&nbsp; con la recta de ecuaciones
+
&nbsp; a la recta
 +
<math>
 +
r
 +
</math>
 +
de ecuaciones
<center>
<center>
<math>
<math>
r:
r:
\left\{
\left\{
-
\begin{array}{ll}
+
\begin{array}{l}
-
0 = & x - 2y + 3z
+
0 = x - 2y + 3z
\\
\\
-
0 = & 2x - y + 4
+
0 = 2x - y + 4
\end{array}
\end{array}
\right.
\right.
Línea 86: Línea 90:
<math>
<math>
r
r
 +
</math>.
 +
Queremos calcular la distancia de
 +
<math>
 +
P
 +
</math>
 +
a
 +
<math>
 +
P^\prime
 +
</math>
 +
y para ello necesitamos conocer
 +
<math>
 +
P^\prime
</math>.
</math>.
Línea 98: Línea 114:
r
r
</math>
</math>
-
y la otra ecuaci\'on procede de igualar a cero el producto escalar del vector
+
y la otra ecuación procede de igualar a cero el producto escalar del vector
<center>
<center>
<math>
<math>
Línea 115: Línea 131:
r
r
</math>.
</math>.
-
( Ambos vectores son perpendiculares, ya que la recta que pasa por
+
El producto escalar de ambos vectores es cero porque son perpendiculares (la recta que pasa por
<math>
<math>
P
P
Línea 131: Línea 147:
<br/>
<br/>
-
Podemos obtener un vector director de la recta
+
 
-
<math>
+
<br/>
-
r
+
 
-
</math>
+
El producto escalar de
-
multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano:
+
<center>
<center>
<math>
<math>
-
0 = x - 2y + 3z
+
\left|
 +
\begin{array}{ccc}
 +
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}
 +
\\
 +
1 & -2 & 3
 +
\\
 +
2 & -1 & 0
 +
\end{array}
 +
\right|
</math>
</math>
</center>
</center>
-
por un vector perpendicular del plano
+
por &nbsp;
 +
<math>
 +
\vec{PP^\prime }
 +
</math>
 +
&nbsp; es
<center>
<center>
<math>
<math>
-
0 = 2x - y + 4
+
\left|
 +
\begin{array}{ccc}
 +
x - 2 & y - 1 & z - 0
 +
\\
 +
1 & -2 & 3
 +
\\
 +
2 & -1 & 0
 +
\end{array}
 +
\right|
</math>
</math>
</center>
</center>
 +
donde la primera fila es el vector &nbsp;
 +
<math>
 +
\vec{PP^\prime }
 +
</math>.
-
Un vector perpendicular al plano
+
Podemos obtener un vector director
-
<center>
+
<math>
<math>
-
0 = x - 2y + 3z
+
\mathbf{u}
</math>
</math>
-
</center>
+
de la recta
-
lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuacion anterior:
+
<math>
 +
r
 +
</math>
 +
[[Producto vectorial|multiplicando vectorialmente]] un vector perpendicular al plano
 +
<math>
 +
\pi_1
 +
</math>
 +
por un vector perpendicular al plano
 +
<math>
 +
\pi_2
 +
</math>.
 +
 
 +
Un vector
 +
<math>
 +
\mathbf{n}_1
 +
</math>
 +
perpendicular al plano
 +
<math>
 +
\pi_1
 +
</math>
 +
lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuación de
 +
<math>
 +
\pi_1
 +
</math>:
 +
 
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\mathbf{n} = \left( \, 1, \, -2, \, 3 \, \right)
+
\mathbf{n}_1 = \left( \, 1, \, -2, \, 3 \, \right)
</math>
</math>
</center>
</center>
-
De la misma forma obtenemos un vector perpendicular al otro plano
+
De la misma forma obtenemos un vector
 +
<math>
 +
\mathbf{n}_2
 +
</math>
 +
perpendicular al plano
 +
<math>
 +
\pi_2
 +
</math>:
 +
 
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\mathbf{n^\prime} = \left( \, 2, \, -1, \, 0 \, \right)
+
\mathbf{n}_2 = \left( \, 2, \, -1, \, 0 \, \right)
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 170: Línea 240:
El producto vectorial de ambos vectores,
El producto vectorial de ambos vectores,
<math>
<math>
-
\mathbf{n}
+
\mathbf{n}_1
</math>
</math>
y
y
<math>
<math>
-
\mathbf{n}^\prime
+
\mathbf{n}_2
</math>
</math>
es
es
<center>
<center>
<math>
<math>
 +
\mathbf{u} =
\left|
\left|
\begin{array}{ccc}
\begin{array}{ccc}
Línea 187: Línea 258:
2 & -1 & 0
2 & -1 & 0
\end{array}
\end{array}
-
\right|
+
\right| = \left( \, 3, \, 6, \, 3 \, \right)
</math>
</math>
</center>
</center>
-
donde la segunda fila es
 
-
<math>
 
-
\mathbf{n}
 
-
</math>
 
-
y la tercera es
 
-
<math>
 
-
\mathbf{n}^\prime
 
-
</math>.
 
<br/>
<br/>
-
El producto escalar de
+
donde
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\left|
+
\begin{array}{ll}
-
\begin{array}{ccc}
+
\mathbf{i} & = \left( \, 1, \, 0, \, 0 \, \right)
-
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}
+
\\
-
\\
+
\mathbf{j} & = \left( \, 0, \, 1, \, 0 \, \right)
-
1 & -2 & 3
+
\\
-
\\
+
\mathbf{k} & = \left( \, 0, \, 0, \, 1 \, \right)
-
2 & -1 & 0
+
\end{array}
-
\end{array}
+
-
\right|
+
</math>
</math>
</center>
</center>
-
por &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\vec{PP^\prime }
 
-
</math>
 
-
&nbsp; es
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\left|
 
-
\begin{array}{ccc}
 
-
x - 2 & y - 1 & z - 0
 
-
\\
 
-
1 & -2 & 3
 
-
\\
 
-
2 & -1 & 0
 
-
\end{array}
 
-
\right|
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
donde la primera fila es el vector &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\vec{PP^\prime }
 
-
</math>.
 
-
 
 +
<br/>
[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]

Revisión de 11:59 30 oct 2010

Distancia entre dos puntos


La distancia entre dos puntos   P = \left( \, x, \, y, \, z \, \right)   y   P^\prime = \left( \, x^\prime, \, y^\prime, \, z^\prime \, \right) 

  es

\mathrm{d} \left( \, P, \, P^\prime \, \right) = \sqrt{ </p> <pre> \left( \, x - x^\prime \, \right)^2 + \left( \, y - y^\prime \, \right)^2 + \left( \, z - z^\prime \, \right)^2 </pre> <p>}


Distancia entre un punto y una recta


La distancia de un punto P a una recta r es la distancia entre P y su proyeccion P^\prime en la recta r .


Ejemplo


Calculemos la distancia del punto   P = \left( \, 2, \, 1, \, 0 \, \right)   a la recta r de ecuaciones

r: \left\{ </p> <pre> \begin{array}{l} 0 = x - 2y + 3z \\ 0 = 2x - y + 4 \end{array} </pre> <p>\right.

Sea   P^\prime = \left( \, x, \, y, \, z \, \right)   la proyección del punto P en la recta r . Queremos calcular la distancia de P a P^\prime y para ello necesitamos conocer P^\prime .


Para hallar P^\prime vamos a resolver un sistema de tres ecuaciones, dos de ellas son las de la recta r y la otra ecuación procede de igualar a cero el producto escalar del vector

\vec{PP^\prime} = \left( </p> <pre> \, x, \, y, \, z \, </pre> <p>\right) - \left( </p> <pre> \, 2, \, 1, \, 0 \, </pre> <p>\right)

por un vector director de la recta r . El producto escalar de ambos vectores es cero porque son perpendiculares (la recta que pasa por P y P^\prime es perpendicular a la recta r ).




El producto escalar de

\left| </p> <pre> \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & -1 & 0 \end{array} </pre> <p>\right|

por   \vec{PP^\prime }   es

\left| </p> <pre> \begin{array}{ccc} x - 2 & y - 1 & z - 0 \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & -1 & 0 \end{array} </pre> <p>\right|

donde la primera fila es el vector   \vec{PP^\prime } .

Podemos obtener un vector director \mathbf{u} de la recta r multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano \pi_1 por un vector perpendicular al plano \pi_2 .

Un vector \mathbf{n}_1 perpendicular al plano \pi_1 lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuación de \pi_1 :

\mathbf{n}_1 = \left( \, 1, \, -2, \, 3 \, \right)

De la misma forma obtenemos un vector \mathbf{n}_2 perpendicular al plano \pi_2 :

\mathbf{n}_2 = \left( \, 2, \, -1, \, 0 \, \right)

El producto vectorial de ambos vectores, \mathbf{n}_1 y \mathbf{n}_2 es

\mathbf{u} = \left| </p> <pre> \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & -1 & 0 \end{array} </pre> <p>\right| = \left( \, 3, \, 6, \, 3 \, \right)


donde

\begin{array}{ll} </p> <pre> \mathbf{i} & = \left( \, 1, \, 0, \, 0 \, \right) \\ \mathbf{j} & = \left( \, 0, \, 1, \, 0 \, \right) \\ \mathbf{k} & = \left( \, 0, \, 0, \, 1 \, \right) </pre> <p>\end{array}


Obtenido de "http://wikillerato.org/Problemas_de_distancias.html"
   
 
ASIGNATURAS
 MatemáticasFísicaQuímicaBiologíaDibujoHistoriaLengua y LiteraturaHistoria del ArteFilosofía
Creative Commons License
Los contenidos de Wikillerato están disponibles bajo una licencia de Creative Commons.
Pueden utilizarse y redistribuirse libremente siempre que se reconozca su procedencia.