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Resolución de triángulos

De Wikillerato

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Los angulos de un triángulo suman
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Supongamos que conocemos la longitud del lado
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y los ángulos
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Los ángulos de un triángulo suman
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\pi
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radianes, por lo tanto, si conocemos dos angulos &nbsp;
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radianes, por lo tanto, como conocemos los ángulos &nbsp;
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\beta
\beta
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de un triángulo podemos hallar el tercero,
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del triángulo podemos hallar
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\gamma
\gamma
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Supongamos que, ademas, conocemos la longitud del lado
 
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y que queremos conocer la longitud de los otros dos lados
 
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podemos utilizar el '''''teorema del seno''''':
podemos utilizar el '''''teorema del seno''''':
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==Conocemos dos lados y el angulo que forman==
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En este caso se utiliza el teorema del coseno
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En este caso se utiliza el '''''teorema del coseno'''''
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==Conocemos dos lados y otro angulo que no es el angulo que forman==
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==Conocemos dos lados y otro ángulo que NO es el ángulo que forman==
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Una vez realizado este calculo se procede como se ha descrito antes en el caso
Una vez realizado este calculo se procede como se ha descrito antes en el caso
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==Conocemos tres lados y ningún ángulo==
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\begin{array}{l}
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\beta = \mathrm{arc} \cos \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}
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\beta = \mathrm{arc} \cos \frac{\displaystyle a^2 + c^2 - b^2}{\displaystyle 2ac}
\\
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\gamma = \mathrm{arc} \cos \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}
+
\gamma = \mathrm{arc} \cos \frac{\displaystyle a^2 + b^2 - c^2}{\displaystyle 2ab}
\end{arry}
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Revisión actual

Tabla de contenidos

Conocemos un lado y dos ángulos


Supongamos que conocemos la longitud del lado a y los ángulos \alpha y \beta .



Los ángulos de un triángulo suman \pi radianes, por lo tanto, como conocemos los ángulos   \alpha   y \beta del triángulo podemos hallar \gamma utilizando la igualdad:

\gamma = \pi - \alpha - \beta


Para hallar b podemos utilizar el teorema del seno:


\frac{a}{\mathrm{sen}\left( \, \alpha \, \right)} = \frac{b}{\mathrm{sen} \left( </p> <pre> \, \beta \, \right)} = \frac{c}{\mathrm{sen} \left( \, \alpha \, \right)} </pre> <p>

Del que se deduce que

b = \mathrm{sen} \left( \, \beta \, \right)\cdot \frac{a}{\mathrm{sen} \left( \, </p> <pre> \alpha \, \right)} </pre> <p>

Analogamente, se deduce que

c = \mathrm{sen}\left( \, \gamma \, \right)\cdot \frac{a}{\mathrm{sen}\left( \, </p> <pre> \alpha \, \right)} </pre> <p>


Conocemos dos lados y el ángulo que forman


Supongamos que conocemos a , b y \gamma .



En este caso se utiliza el teorema del coseno


c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \left( \, \gamma \, \right)

para calcular c :

c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos \left( \, \gamma \, \right)}


Una vez hallado c, calculamos \alpha y \beta mediante el teorema del seno:


\alpha = \mathrm{arc} \mathrm{sen} \left( \, a \cdot \frac{\mathrm{sen}\left ( \gamma \right)}{c} \right)

\beta = \mathrm{arc} \mathrm{sen} \left( \, b \cdot \frac{\mathrm{sen}\left ( \gamma \right)}{c} \right)


Conocemos dos lados y otro ángulo que NO es el ángulo que forman


Supongamos que se conocen los lados a y b y el ángulo \beta .



Podemos utilizar el teorema del seno para hallar \alpha :


\frac{\mathrm{arc} \mathrm{sen} \left( \, \alpha \, \right)}{a} = \frac{\mathrm{arc} </p> <pre> \mathrm{sen} \left( \, \beta \, \right)}{b} </pre> <p>

con lo cual

\alpha = \mathrm{arc} \mathrn{sen} \left( \, \frac{\mathrm{sen} \left( \, \beta </p> <pre> \, \right)}{b} \cdot a \, \right) </pre> <p>


Una vez realizado este calculo se procede como se ha descrito antes en el caso de que se tengan dos ángulos y un lado.


Conocemos tres lados y ningún ángulo



En este caso hay que determinar todos y cada uno de los ángulos del triángulo. Para ello se utiliza el teorema del coseno. Por ejemplo, de

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha

se deduce que

\alpha = \mathrm{arc} \cos \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

Analogamente, se tiene que:


\begin{array}{l} \beta = \mathrm{arc} \cos \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \\ \\ \gamma = \mathrm{arc} \cos \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \end{arry}

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