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Resolución de triángulos

De Wikillerato

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==Conocemos un lado y dos ángulos==
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Supongamos que conocemos la longitud del lado
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\pi
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radianes, por lo tanto, si conocemos dos ángulos &nbsp;
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radianes, por lo tanto, como conocemos los ángulos &nbsp;
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\beta
\beta
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de un triángulo podemos hallar el tercero,
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del triángulo podemos hallar
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\gamma
\gamma
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Supongamos que, ademas, conocemos la longitud del lado
 
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a
 
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y que queremos conocer la longitud de los otros dos lados
 
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podemos utilizar el '''''teorema del seno''''':
podemos utilizar el '''''teorema del seno''''':
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\gamma
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En este caso se utiliza el '''''teorema del coseno'''''
En este caso se utiliza el '''''teorema del coseno'''''
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==Conocemos dos lados y otro ángulo que no es el ángulo que forman==
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==Conocemos dos lados y otro ángulo que NO es el ángulo que forman==
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\beta
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Una vez realizado este calculo se procede como se ha descrito antes en el caso
Una vez realizado este calculo se procede como se ha descrito antes en el caso
de que se tengan [[Resolución de triángulos#Conocemos un lado y dos ángulos|dos ángulos y un lado]].
de que se tengan [[Resolución de triángulos#Conocemos un lado y dos ángulos|dos ángulos y un lado]].
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==Conocemos tres lados y ningún ángulo==
==Conocemos tres lados y ningún ángulo==
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Revisión actual

Tabla de contenidos

Conocemos un lado y dos ángulos


Supongamos que conocemos la longitud del lado a y los ángulos \alpha y \beta .



Los ángulos de un triángulo suman \pi radianes, por lo tanto, como conocemos los ángulos   \alpha   y \beta del triángulo podemos hallar \gamma utilizando la igualdad:

\gamma = \pi - \alpha - \beta


Para hallar b podemos utilizar el teorema del seno:


\frac{a}{\mathrm{sen}\left( \, \alpha \, \right)} = \frac{b}{\mathrm{sen} \left( </p> <pre> \, \beta \, \right)} = \frac{c}{\mathrm{sen} \left( \, \alpha \, \right)} </pre> <p>

Del que se deduce que

b = \mathrm{sen} \left( \, \beta \, \right)\cdot \frac{a}{\mathrm{sen} \left( \, </p> <pre> \alpha \, \right)} </pre> <p>

Analogamente, se deduce que

c = \mathrm{sen}\left( \, \gamma \, \right)\cdot \frac{a}{\mathrm{sen}\left( \, </p> <pre> \alpha \, \right)} </pre> <p>


Conocemos dos lados y el ángulo que forman


Supongamos que conocemos a , b y \gamma .



En este caso se utiliza el teorema del coseno


c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \left( \, \gamma \, \right)

para calcular c :

c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos \left( \, \gamma \, \right)}


Una vez hallado c, calculamos \alpha y \beta mediante el teorema del seno:


\alpha = \mathrm{arc} \mathrm{sen} \left( \, a \cdot \frac{\mathrm{sen}\left ( \gamma \right)}{c} \right)

\beta = \mathrm{arc} \mathrm{sen} \left( \, b \cdot \frac{\mathrm{sen}\left ( \gamma \right)}{c} \right)


Conocemos dos lados y otro ángulo que NO es el ángulo que forman


Supongamos que se conocen los lados a y b y el ángulo \beta .



Podemos utilizar el teorema del seno para hallar \alpha :


\frac{\mathrm{arc} \mathrm{sen} \left( \, \alpha \, \right)}{a} = \frac{\mathrm{arc} </p> <pre> \mathrm{sen} \left( \, \beta \, \right)}{b} </pre> <p>

con lo cual

\alpha = \mathrm{arc} \mathrn{sen} \left( \, \frac{\mathrm{sen} \left( \, \beta </p> <pre> \, \right)}{b} \cdot a \, \right) </pre> <p>


Una vez realizado este calculo se procede como se ha descrito antes en el caso de que se tengan dos ángulos y un lado.


Conocemos tres lados y ningún ángulo



En este caso hay que determinar todos y cada uno de los ángulos del triángulo. Para ello se utiliza el teorema del coseno. Por ejemplo, de

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha

se deduce que

\alpha = \mathrm{arc} \cos \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

Analogamente, se tiene que:


\begin{array}{l} \beta = \mathrm{arc} \cos \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \\ \\ \gamma = \mathrm{arc} \cos \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \end{arry}

Obtenido de "http://wikillerato.org/Resoluci%C3%B3n_de_tri%C3%A1ngulos.html"
   
 
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