Operaciones elementales con matrices

De Wikillerato

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Tabla de contenidos

1 Suma de matrices
- 1.1 Ejemplo
- 1.2 Propiedades de la suma de matrices
2 Producto de un numero por una matriz
- 2.1 Ejemplo
3 Producto de matrices
- 3.1 Ejemplo
- 3.2 Propiedades del producto de matrices

Suma de matrices

Para dos matrices $A = \left( a_{ij} \right)$ y $B = \left( b_{ij} \right)$ de la misma dimensión $m \times n$ , la suma de $A$ y $B$ es la matriz de la misma dimensión $m \times n$ , dada por

$A + B = \left( a_{ij} \right) + \left( b_{ij} \right) = \left( a_{ij} + b_{ij} \right)$

Ejemplo

$A + B = \left( <pre> \begin{array}[c]{ccc} a_{11 }& a_{12} & a_{13} \\ a_{21 }& a_{22} & a_{23} \\ a_{31 }& a_{32} & a_{33} \end{array} </pre> \right) + \left( <pre> \begin{array}[c]{ccc} b_{11 }& b_{12} & b_{13} \\ b_{21 }& b_{22} & b_{23} \\ b_{31 }& b_{32} & b_{33} \end{array} </pre> \right) = \left( <pre> \begin{array}[c]{ccc} a_{11 } + b_{11 } & a_{12} + b_{12} & a_{13} + b_{13} \\ a_{21 } + b_{21 } & a_{22} + b_{22} & a_{23} + b_{23} \\ a_{31 } + b_{31 } & a_{32} + b_{32} & a_{33} + b_{33} \end{array} </pre> \right)$

Propiedades de la suma de matrices

1. Asociativa

$A + \left( <pre> B + C </pre> \right) = \left( <pre> A + B </pre> \right) + C$

2. Elemento neutro. La matriz nula, $0,$ de la dimension correspondiente es el elemento neutro para la suma, ya que:

$A + 0 = 0 + A = A$

3. Elemento opuesto. Para la matriz $A$ existe otra matriz que denotamos por $-A$ y que llamamos matriz opuesta de $A,$ que cumple:

$A + \left( <pre> -A </pre> \right) <pre>= 0 </pre> $

4. Comutativa

$A + B = B + A$

Producto de un numero por una matriz

Para un número real $k$ y una matriz $A = \left( a_{ij} \right)}$ de dimension $m \times n$ , el producto de un número real por una matriz es la matriz de la misma dimension $m \times n$ dada por

$k \cdot A = k \cdot \left( a_{ij} \right) = \left( k \cdot a_{ij} \right)$

Es decir, el producto $k \cdot A$ se obtiene multiplicando el numero real por cada uno de los elementos de la matriz.

Ejemplo

$k \cdot A = k \cdot \left( <pre> \begin{array}[c]{cc} a_{11 }& a_{12} \\ a_{21 }& a_{22} \\ a_{31 }& a_{32} \end{array} </pre> \right) = \left( <pre> \begin{array}[c]{cc} k \cdot a_{11 }& k \cdot a_{12} \\ k \cdot a_{21 }& k \cdot a_{22} \\ k \cdot a_{31 }& k \cdot a_{32} \end{array} </pre> \right)$

Producto de matrices

El producto de dos matrices $A = \left( a_{ij} \right)$ de dimension $m \times n$ y $B = \left( b_{ij} \right)$ de dimension $n \times p$ , es la matriz $A \cdot B$ dada por:

$A \cdot B = \left( c_{ij} \right)$

con

$ <pre>c_{ij} = \sum_{j = 1}^n a_{ij} \cdot b_{jk} </pre> $

Es decir, cada elemento $c_{ik}$ se obtiene multiplicando la fila i-ésima de la primera matriz por la columna k-ésima de la segunda matriz.

Ejemplo

$\left( <pre> \begin{array}[c]{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array} </pre> \right) \cdot \left( <pre> \begin{array}[c]{cc} ~~7 & ~~8 \\ ~~9 & ~~0 \\ -1 & -2 \end{array} </pre> \right) = \left( <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot \left( -1 \right) & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot \left( -2 \right) \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot \left( -1 \right) & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot \left( -2 \right) \end{array} </pre> \right)$