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Función derivada de la composición de funciones

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El componer dos funciones  
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
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x \longrightarrow \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \longrightarrow \mathrm{g}
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resultado que se conoce como '''''regla de la cadena'''''.
resultado que se conoce como '''''regla de la cadena'''''.
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\, x^2 \, \right) \cdot 2x
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[[Category:Matemáticas]]
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Revisión actual

El componer dos funciones   \mathrm{f}   y   \mathrm{g}   consiste en aplicar   \mathrm{g}   al resultado de calcular   \mathrm{f} \left( \, x \, \right) :


x \longrightarrow \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \longrightarrow \mathrm{g} \left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)


La derivada de   \mathrm{g} \left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)   viene dada por la fórmula: 



\left(
   \, \mathrm{g} \left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)
\right)
^\prime \, = \, \mathrm{g}^\prime \left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right)


resultado que se conoce como regla de la cadena.


Ejemplo


Calculemos la derivada de


\mathrm{h} \left( \, x \, \right) \, = \, \cos \left( \, x^2 \, \right)


  \mathrm{h}   es la composición de dos funciones:


\left\{ </p> <pre> \begin{array}[c]{rcl} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, & = & \, x^2 \\ \mathrm{g} \left( \, x \, \right) \, & = & \, \cos \left( \, x \, \right) \end{array} </pre> <p>\right.


Es decir


\mathrm{h} \left( \, x \, \right) \, = \, \mathrm{g} \left( \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)


Para derivar   \mathrm{h} \left( \, x \, \right)   utilizamos la regla de la cadena:


</p> <pre> \mathrm{h}^\prime \left( \, x \, \right) \, = \, \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right) </pre> <p>


Como


\left\{ </p> <pre> \begin{array}[c]{rcl} \mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right) \, & = & \, 2x \\ \mathrm{g}^\prime \left( \, x \, \right) \, & = & \, -\mathrm{sen} \left( \, x \, \right) \end{array} </pre> <p>\right.


se tiene que


\mathrm{h}^\prime \left( \, x \, \right) \, = \, -\mathrm{sen} \left( </p> <pre> \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right) \cdot 2x \, = \, -\mathrm{sen} \left( \, x^2 \, \right) \cdot 2x </pre> <p>


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