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Función derivada de la composición de funciones

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
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(5 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 1: Línea 1:
 +
El componer dos funciones  
El componer dos funciones  
<math>
<math>
Línea 9: Línea 10:
&nbsp; consiste en aplicar &nbsp;
&nbsp; consiste en aplicar &nbsp;
<math>
<math>
-
g
+
\mathrm{g}
</math>
</math>
&nbsp; al resultado de calcular &nbsp;
&nbsp; al resultado de calcular &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
-
</math>
+
</math>:
-
, es decir:
+
<br/>
<br/>
<center>
<center>
-
<math>
 
-
R \stackrel{\mathrm{f}}{\longrightarrow} R \stackrel{\mathrm{g}}{\longrightarrow} R
 
-
</math>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
<math>
<math>
x \longrightarrow \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \longrightarrow \mathrm{g}
x \longrightarrow \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \longrightarrow \mathrm{g}
\left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)
\left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)
</math>
</math>
-
 
</center>
</center>
Línea 45: Línea 38:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\mathrm{g}^\prime \left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right)
+
\left(
 +
\, \mathrm{g} \left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)
 +
\right)
 +
^\prime \, = \, \mathrm{g}^\prime \left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right)
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 81: Línea 77:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, x^2
+
\left\{
-
</math>
+
\begin{array}[c]{rcl}
-
</center>
+
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, & = & \, x^2
-
 
+
\\
-
<center>
+
\mathrm{g} \left( \, x \, \right) \, & = & \, \cos \left( \, x \, \right)
-
<math>
+
\end{array}
-
\mathrm{g} \left( \, x \, \right) \, = \, \cos \left( \, x \, \right)
+
\right.
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 127: Línea 123:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right) \, = 2x \,
+
\left\{
-
</math>
+
\begin{array}[c]{rcl}
-
 
+
\mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right) \, & = & \, 2x
-
<br/>
+
\\
-
 
+
\mathrm{g}^\prime \left( \, x \, \right) \, & = & \, -\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)
-
<math>
+
\end{array}
-
\mathrm{g}^\prime \left( \, x \, \right) \, = -\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)
+
\right.
</math>
</math>
</center>
</center>

Revisión actual

El componer dos funciones   
\mathrm{f}
  y   
\mathrm{g}
  consiste en aplicar   
\mathrm{g}
  al resultado de calcular   
\mathrm{f} \left( \, x  \, \right)
:



x \longrightarrow \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \longrightarrow \mathrm{g}
\left(  \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \right)


La derivada de   
\mathrm{g} \left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)
  viene dada por la fórmula:



\left(
   \, \mathrm{g} \left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)
\right)
^\prime \, = \, \mathrm{g}^\prime \left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right)


resultado que se conoce como regla de la cadena.


Ejemplo


Calculemos la derivada de



\mathrm{h} \left( \, x  \, \right) \, = \, \cos \left( \, x^2  \, \right)


  
\mathrm{h}
  es la composición de dos funciones:



\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
   \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, & = & \, x^2
   \\
   \mathrm{g} \left( \, x  \, \right) \, & = & \, \cos \left( \, x  \, \right)
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


Es decir



\mathrm{h} \left( \, x  \, \right) \, = \, \mathrm{g} \left( \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)


Para derivar   
\mathrm{h} \left( \, x  \, \right)
  utilizamos la regla de la cadena:



</p>
<pre> \mathrm{h}^\prime \left( \, x \, \right) \, = \, \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right)
</pre>
<p>


Como



\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
   \mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right) \, & = & \, 2x 
   \\
   \mathrm{g}^\prime \left( \, x \, \right) \, & = & \, -\mathrm{sen} \left( \, x  \, \right)  
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


se tiene que



\mathrm{h}^\prime \left( \, x \, \right) \, = \, -\mathrm{sen} \left(
</p>
<pre> \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right) \cdot 2x \, = \, -\mathrm{sen} \left(
 \, x^2 \, \right) \cdot 2x 
</pre>
<p>


   
 
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