Desarrollo de un determinante

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)

Revisión actual

En esta sección se explica un procedimiento que nos permite calcular determinantes de cualquier orden, pero antes hemos de introducir los conceptos de menor complementario y adjunto.

Menores complementarios y adjuntos

En una matriz cuadrada de orden $n, \, \mathbf{A} = \left( \, a_{ij} \, \right),$ se llama menor complementario del elemento $a_{ij},$ y lo representamos por $\alpha_{ij},$ al determinante de la matriz cuadrada de orden $n - 1$ que resulta de suprimir la fila $i$ y la columna $j$ de la matriz $\mathbf{A}$

Se llama adjunto del elemento $a_{ij}$ , y lo representamos por $A_{ij},$ al producto $\left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij}$ :

$A_{ij} = \left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij}$

Ejemplo

Los menores complementarios de la matriz

$\mathbf{A} = \left( <pre> \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array} </pre> \right)$

son

$\begin{array}{ccc} \alpha_{11} = \left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{array} </pre> \right| & \qquad \alpha_{12} = \left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{array} </pre> \right| & \qquad \alpha_{13} = \left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} </pre> \right| \\ & & \\ \alpha_{21} = \left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{array} </pre> \right| & \qquad \alpha_{22} = \left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{array} </pre> \right| & \qquad \alpha_{23} = \left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{array} </pre> \right| \end{array}$

$\begin{array}[c]{ccc} \alpha_{31} = \left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{array} </pre> \right| & \qquad \alpha_{32} = \left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{array} </pre> \right| & \qquad \alpha_{33} = \left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{array} </pre> \right| \end{array}$

y sus adjuntos son:

$\begin{array}{ccccccccccc} A_{11} & = & -3 & \qquad & A_{12} & = & ~~~6 & \qquad & A_{13} & = & -3 \\ A_{21} & = & ~~6 & \qquad & A_{22} & = & -12 & \qquad & A_{23} & = & ~~6 \\ A_{31} & = & -3 & \qquad & A_{32} & = & ~~~6 & \qquad & A_{33} & = & -3 &\end{array}$

Desarrollo de un determinante

El determinante de una matriz cuadrada de orden $n$ es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea o columna cualquiera por sus adjuntos respectivos. Es decir: