Teorema de Rouche-Fröbenius

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-	que un sistema homogeneo siempre es compatible. En cualquier sistema homogeneo, siempre	+	que un sistema homogéneo siempre es compatible. En cualquier sistema homogéneo, siempre
-	podemos obtener una solución particular igualando todas las incognitas a 0.	+	podemos obtener una solución particular -llamada solución trivial- igualando todas las incógnitas a 0.
-	Un sistema homogeneo es compatible indeterminado cuando el determinante de la matriz de	+	Un sistema homogéneo es compatible indeterminado cuando el número de incógnitas es mayor que el rango de la matriz de coeficientes.
-	los coeficientes es cero. Si este determinante no es cero el sistema homogeneo es	+
-	compatible determinado.	+
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Revisión actual

Enunciado

Un sistema de     ecuaciones lineales con     incógnitas es compatible (tiene solución) si, y sólo si, el rango de la matriz de los coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada. Rouche-Fröbenius

Si el sistema es compatible, existen dos posibilidades:

1. Que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el numero de incógnitas.
2. Que el rango de la matriz de los coeficientes sea igual al numero de incognitas.

En el primer caso el sistema es compatible indeterminado y en el segundo caso el sistema es compatible determinado.

Ejemplo:sistemas homogéneos

En un sistema de ecuaciones homogéneo, la columna de los términos independientes es nula, de manera que el rango de la matriz de los coeficientes y el de la matriz ampliada coinciden. Esto implica, a su vez, por el teorema de Rouché-Fröbenius, que un sistema homogéneo siempre es compatible. En cualquier sistema homogéneo, siempre podemos obtener una solución particular -llamada solución trivial- igualando todas las incógnitas a 0.

Un sistema homogéneo es compatible indeterminado cuando el número de incógnitas es mayor que el rango de la matriz de coeficientes.    Tweet