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Concavidad y convexidad

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Revisión actual

Tabla de contenidos

Convexidad


Si la derivada segunda de   \mathrm{f}   en   a   es positiva, entonces   \mathrm{f}^\prime   es creciente en   a   y   \mathrm{f}   es convexa en   a .


 


Imagen:convexa.gif


Concavidad


Si la derivada segunda de   \mathrm{f}   en   a   es negativa, entonces   \mathrm{f}^\prime   es decreciente en   a   y   \mathrm{f}   es cóncava en   a .


 


Imagen:concava.gif


Puntos de inflexión


Un punto de inflexion es un punto donde la función pasa de ser cóncava a convexa o viceversa.


La función cuya grafica se muestra en la figura de abajo tiene un punto de inflexión en el origen de coordenadas ( intersección de los ejes X e Y ).


 


Imagen:funcion3.png


Si   x_0   es un punto de inflexión de   \mathrm{f} , entonces   \mathrm{f}^{\prime \prime} \left( \, x_0 \, \right) \, = \, 0 , pero lo reciproco no es cierto en general:


\mathrm{f}^{\prime \prime} \left( \, x_0 \, \right) \, = \, 0   no implica que   x_0   sea un punto de inflexión de   \mathrm{f} .


Ejemplo


La derivada segunda de la función   \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, x^4   se anula en   x \, = \, 0   pero   \mathrm{f}   no tiene un punto de inflexión en el punto de abcisa   x \, = \, 0 .   \mathrm{f}   es covexa en todo su dominio ( R ).


Ejemplo


La derivada segunda de la función   \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, x^3   se anula en   x \, = \, 0 .


\mathrm{f}   tiene un punto de inflexión en el punto de abcisa   x \, = \, 0   porque \mathrm{f}^{\prime \prime} \left( \, x \, \right) \, = \, 6x   cambia de signo en   x \, = \, 0 :


si   x < 0   entonces   \mathrm{f}^{\prime \prime}   es negativa (   \mathrm{f}   es concava )   y si   x > 0   entonces     \mathrm{f}^{\prime \prime}   es positiva (   \mathrm{f}   es convexa ).


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