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Problemas de distancias

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
m (Revertidas las ediciones realizadas por 200.44.14.135 (Talk); a la última edición de Fjmolina)
(→Distancia entre un punto y una recta)
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==Distancia entre un punto y una recta==
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I thought finding this would be so arduous but it’s a beerze!
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La distancia de un punto
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<math>
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P
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</math>
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a una recta
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<math>
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r
+
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</math>
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es la distancia entre
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<math>
+
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P
+
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</math>
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y su proyeccion
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<math>
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P^\prime
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</math>
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en la recta
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r
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<center>
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[[Imagen:dcPnLi.png]]
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</center>
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===Ejemplo===
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Calculemos la distancia del punto &nbsp;
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<math>
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P = \left( \, 2, \, 1, \, 0 \, \right)
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&nbsp; a la recta
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<math>
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r
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de ecuaciones
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r:
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\left\{
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\begin{array}{l}
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0 = x - 2y + 3z
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\\
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0 = 2x - y + 4
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\end{array}
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\right.
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</center>
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Sea &nbsp;
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P^\prime = \left( \, x, \, y, \, z \, \right)
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</math>
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&nbsp; la proyección del punto
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P
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</math>
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en la recta
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+
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r
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Queremos calcular la distancia de
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<math>
+
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y para ello necesitamos conocer
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P^\prime
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Para hallar
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P^\prime
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</math>
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vamos a resolver un sistema de tres ecuaciones, dos de ellas son las de la recta
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r
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</math>
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y la otra ecuación procede de igualar a cero el producto escalar del vector
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<center>
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<math>
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\vec{PP^\prime} =
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\left(
+
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\, x, \, y, \, z \,
+
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\right)
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\left(
+
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\, 2, \, 1, \, 0 \,
+
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\right)
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</math>
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</center>
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por un vector director de la recta
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<math>
+
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r
+
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</math>.
+
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El producto escalar de ambos vectores es cero porque son perpendiculares (la recta que pasa por
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P
+
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</math>
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y
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+
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P^\prime
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+
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es perpendicular a la recta
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Podemos obtener un vector director
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de la recta
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r
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</math>
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[[Producto vectorial|multiplicando vectorialmente]] un vector perpendicular al plano
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\pi_1
+
-
</math>
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por un vector perpendicular al plano
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perpendicular al plano
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\pi_1
+
-
</math>
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lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuación de
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-
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+
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+
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\mathbf{n}_1 = \left( \, 1, \, -2, \, 3 \, \right)
+
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</math>
+
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De la misma forma obtenemos un vector
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\mathbf{n}_2
+
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</math>
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perpendicular al plano
+
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+
-
\pi_2
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-
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+
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+
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+
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\mathbf{n}_2 = \left( \, 2, \, -1, \, 0 \, \right)
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+
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El producto vectorial de ambos vectores,
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+
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+
-
1 & -2 & 3
+
-
\\
+
-
2 & -1 & 0
+
-
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+
-
\right| = \left( \, 3, \, 6, \, 3 \, \right)
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-
</math>
+
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donde
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<center>
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\begin{array}{ll}
+
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\mathbf{i} & = \left( \, 1, \, 0, \, 0 \, \right)
+
-
\\
+
-
\mathbf{j} & = \left( \, 0, \, 1, \, 0 \, \right)
+
-
\\
+
-
\mathbf{k} & = \left( \, 0, \, 0, \, 1 \, \right)
+
-
\end{array}
+
-
</math>
+
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-
x - 2 & y - 1 & z - 0
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\\
+
-
1 & -2 & 3
+
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\\
+
-
2 & -1 & 0
+
-
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+
-
\right|
+
-
= \left( \, x - 2, \, y - 1, \, z - 0 \, \right) \cdot \left( \, 3, \, 6, \, 3
+
-
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+
-
</math>
+
-
</center>
+
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<center>
+
-
<math>
+
-
= 3 \cdot \left( \, x - 2 \, \right) + 6 \cdot \left( \, y - 1 \,
+
-
\right) + 3 \cdot \left( \, z - 0 \, \right) = 3x + 6y + 3z -12 = 0
+
-
\right|
+
-
</math>
+
-
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<br/>
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donde la primera fila del determinante es el vector &nbsp;
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es, pues, la solución del sistema de ecuaciones
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+
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-
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\\
+
-
0 = x - 2y + 3z
+
-
\\
+
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0 = 2x - y + 4
+
-
\end{array}
+
-
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+
-
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+
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</center>
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Restando a la tercera ecuación la primera y la segunda se tiene que
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+
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0 = 9y - 16
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con lo cual &nbsp;
+
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+
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+
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+
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&nbsp; Sustituyendo
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y
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+
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por
+
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+
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en la tercera ecuación del sistema y despejando
+
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+
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x
+
-
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+
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se llega a que
+
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<center>
+
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+
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x = \frac{y}{2} - 2 = \frac{8}{9} - 2 = -\frac{10}{9}
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</math>
+
-
</center>
+
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+
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+
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+
-
Finalmente, sustituyendo
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+
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y
+
-
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+
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por
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-
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+
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\frac{16}{9}
+
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+
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y
+
-
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+
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x
+
-
</math>
+
-
por &nbsp;
+
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+
-
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-
</math>
+
-
&nbsp;
+
-
en la segunda ecuación del sistema y despejando
+
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+
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+
-
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+
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se llega a que
+
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<center>
+
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+
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2 \cdot \frac{16}{9} + \frac{10}{9} \, \right) = \frac{42}{27} = \frac{14}{9}
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-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
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La distancia de
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+
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+
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+
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+
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+
-
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+
-
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+
-
coincide con la distancia de
+
-
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+
-
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+
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+
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a
+
-
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+
-
P^\prime
+
-
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+
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y esta es:
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<math>
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\sqrt{\left( \, 2 - \left( \, -\frac{10}{9} \, \right) \right)^2 + \left( \, 1 - \frac{16}{9} \, \right)^2 + \left( \, 0 -
+
-
\frac{14}{9} \, \right)^2}
+
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</math>
+
-
</center>
+
-
 
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==Distancia de un punto a un plano==
==Distancia de un punto a un plano==

Revisión de 18:01 29 jun 2011

Tabla de contenidos

Distancia entre dos puntos


La distancia entre dos puntos   P = \left( \, x, \, y, \, z \, \right)   y   P^\prime = \left( \, x^\prime, \, y^\prime, \, z^\prime \, \right)   es

\mathrm{d} \left( \, P, \, P^\prime \, \right) = \sqrt{ </p> <pre> \left( \, x - x^\prime \, \right)^2 + \left( \, y - y^\prime \, \right)^2 + \left( \, z - z^\prime \, \right)^2 </pre> <p>}


I thought finding this would be so arduous but it’s a beerze!

Distancia de un punto a un plano


Sea \pi un plano con vector normal \mathbf{n} y al que pertenece el punto   Q .


La distancia de un punto P al plano \pi es la longitud de la proyección del vector \vec{PQ} en la dirección normal al plano \pi , que se puede calcular mediante la fórmula:

\frac{\left| \, \mathbf{n} \cdot \vec{PQ} \, \right|}{\left| \vec{PQ} \right| \cdot \left| </p> <pre> \, \mathbf{n} \, \right|}} </pre> <p>


Imagen:dcPnPlg.png


Ejemplo


Calculemos la distancia del punto   P = \left( \, 2, \, 1, \, 0 \, \right)   al plano \pi de ecuación:


x - y - z = 9


Un vector normal al plano \pi es el vector

\mathbf{n} = \left( \, 1, \, -1, \, -1 \, \right)


Para encontrar un punto Q del plano \pi damos valores a x y a y en la ecuación del plano \pi , por ejemplo,   x = y = 1 ,   y despejamos z , lo que nos da una ecuación en z :


1 - 1 - z = 9

cuya solución es:

z = -9


Por lo tanto   Q = \left( \, 1, \, 1, \, -9 \, \right)   es un punto del plano \pi .


La distancia de P a \pi es


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


Distancia de una recta a un plano


Sea r una recta paralela a un plano \pi .


Para calcular la distancia de r a \pi lo unico que tenemos que hacer es encontrar un punto P en la recta r y calcular la distancia de este punto al plano \pi .


Distancia entre dos rectas


Para calcular la distancia entre dos rectas, r y s , que se cruzan se procede de la siguiente manera:

En primer lugar, se encuentran vectores directores de ambas rectas,   \mathbf{u}_r   y   \mathbf{u}_s , y un par de puntos,   P   y   Q ,   en r y en s , respectivamente.


A continuación, se calcula la longitud de la proyección del vector \vec{PQ} en la dirección normal a un plano paralelo a r y a s . Esta dirección es la del vector


\mathbf{n} = \mathbf{u}_r \times \mathbf{u}_s

La distancia que buscamos la podemos cacular con la formula


\frac{\left| \, \mathbf{n} \cdot \vec{PQ} \, \right|} {\left| \vec{PQ} \right| \cdot \left| \, \mathbf{n} \, \right|}}


Distancia entre dos planos


Para calcular la distancia entre dos planos paralelos,   \pi_1   y \pi_2 , se coge un punto de   \pi_1   y se calcula la distancia de este punto al plano   \pi_2 .


Obtenido de "http://wikillerato.org/Problemas_de_distancias.html"
   
 
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