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Circunferencia

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
(→Enlaces externos)
(LibELMvdyMaCyZuX)
Línea 1: Línea 1:
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==Definición==
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Great thinknig! That really breaks the mold!
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Llamamos '''''lugar geométrico''''' al conjunto de puntos que satisfacen una determinada propiedad.
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Una '''''circunferencia''''' es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.
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La distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro se llama '''radio'''.
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==Ecuación==
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Para obtener la ecuación de la circunferencia consideramos un sistema de referencia ortonormal en el plano (con sus ejes de coordenadas y origen).
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<br/>
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<center>
+
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[[Imagen:circunferencia.gif]]
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</center>
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<br/>
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Si &nbsp;
+
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<math>
+
-
C \, = \,
+
-
\left(
+
-
\, a, \, b \,
+
-
\right)
+
-
</math>
+
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&nbsp; es el centro de la circunferencia de radio &nbsp;
+
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<math>
+
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r
+
-
</math>
+
-
&nbsp; y &nbsp;
+
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<math>
+
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P \, = \,
+
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\left(
+
-
\, x, \, y \,
+
-
\right)
+
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</math>
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&nbsp; es un punto cualquiera de ella, entonces se verifica que la distancia de &nbsp;
+
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<math>
+
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P
+
-
</math>
+
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&nbsp; a &nbsp;
+
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<math>
+
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C
+
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</math>
+
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&nbsp; es &nbsp;
+
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<math>
+
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r
+
-
</math>
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, por tanto:
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<br/>
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<center>
+
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<math>
+
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\sqrt
+
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{
+
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\left(
+
-
\, x \, - \, a \,
+
-
\right)
+
-
^2 \, + \,
+
-
\left(
+
-
\, y \, - \, b \,
+
-
\right)
+
-
^2
+
-
}
+
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\, = \, r
+
-
</math>
+
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</center>
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<br/>
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Elevando al cuadrado, obtenemos la ecuación de la circunferencia:
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<br/>
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<center>
+
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<math>
+
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\left(
+
-
\, x \, - \, a \,
+
-
\right)
+
-
^2 \, + \,
+
-
\left(
+
-
\, y \, - \, b \,
+
-
\right)
+
-
^2 \, = \, r^2
+
-
</math>
+
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</center>
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<br/>
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-
 
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==Ejemplo==
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<br/>
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Supongamos que nos dan la siguiente ecuación de una circunferencia:
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<br/>
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<center>
+
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<math>
+
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x^2 \, + \, y^2 \, + \, 4 \cdot x \, - \, 6 \cdot y \, - \, 12 \, = \, 0
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
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<br/>
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-
 
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y nos piden calcular el radio y el centro de la misma. Como hemos visto anteriormente, la
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ecuación de una circunferencia de centro
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&nbsp;
+
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<math>
+
-
C \, = \,
+
-
\left(
+
-
\, a, \, b \,
+
-
\right)
+
-
</math>
+
-
&nbsp; y radio &nbsp;
+
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<math>
+
-
r
+
-
</math>
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&nbsp; se puede escribir de la forma:
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<br/>
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<center>
+
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<math>
+
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\left(
+
-
\, x \, - \, a \,
+
-
\right)
+
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^2 \, + \,
+
-
\left(
+
-
\, y \, - \, b \,
+
-
\right)
+
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^2 \, = \, r^2
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
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<br/>
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Si pasamos &nbsp;
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<math>
+
-
r^2
+
-
</math>
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&nbsp; al otro lado del signo igual, desarrollamos los cuadrados y agrupamos los terminos
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independientes obtenemos:
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-
 
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<br/>
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-
 
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<center>
+
-
<math>
+
-
x^2 \, - \, 2ax \, + \, y^2 \, - \, 2by \, + \,
+
-
\left(
+
-
\, a^2 \, + \, b^2 \, - \, r^2 \,
+
-
\right)
+
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\, = \, 0
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
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<br/>
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-
 
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Comparando esta ecuación con la que nos dan e igualando coeficientes, obtenemos:
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+
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<br/>
+
-
 
+
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<center>
+
-
<math>
+
-
\left\{
+
-
\begin{array}[c]{rcl}
+
-
-2a & = & 4
+
-
\\
+
-
-2b & = & -6
+
-
\\
+
-
a^2 \, + \, b^2 \, - \, r^2 & = & -12
+
-
\end{array}
+
-
\right.
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
de donde se deduce que
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
\left\{
+
-
\begin{array}[c]{rcl}
+
-
a & = & -2
+
-
\\
+
-
b & = & 3
+
-
\\
+
-
r & = & 5
+
-
\end{array}
+
-
\right.
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
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VxIqqg <a href="http://lukgpshueiuy.com/">lukgpshueiuy</a>
+

Revisión de 16:56 30 jun 2011

Great thinknig! That really breaks the mold!

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