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Subespacios vectoriales
De Wikillerato
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Revisión de 14:18 13 ago 2011
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Definición
Sean (V, +, K, *) un espacio vectorial y S un subconjunto de V.
S es subespacio vectorial de V si (S, +, K, *) es espacio vectorial en sí mismo, siendo + y * las mismas operaciones definidas en V. Las bases de un subespacio son el subconjunto de "alfa" y "beta" en el menor subespacio formado por la recta que pasa por dos puntos.
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Unión
En la gran mayoría de los casos la unión de dos subespacios no es un subespacio de V, pues no se cumple con la ley de composición interna.
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Suma
La suma de dos subespacios es un subespacio de V.
Suma directa
Si la intersección entre S y W es el subespacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la suma se la llama "suma directa". Es decir que si .
Fórmula de Grassman (o Teorema de las dimensiones)
Sean los subespacios S, W del espacio vectorial V:
Esta fórmula resuelve que la dimensión de la suma de los subespacios S y W será igual a la dimensión del subespacio S más la dimensión del subespacio W menos la dimensión de la intersección de ambos.
Por ejemplo, siendo dim(S) = 3 y dim(W) = 2 y teniendo como intersección un subespacio de dimensión 1. Luego, dim(S + W) = 4.
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