Subespacios vectoriales

De Wikillerato

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Definición

Sean (V, +, K, *) un espacio vectorial y S un subconjunto de V.

S es subespacio vectorial de V si (S, +, K, *) es espacio vectorial en sí mismo, siendo + y * las mismas operaciones definidas en V. Las bases de un subespacio son el subconjunto de "alfa" y "beta" en el menor subespacio formado por la recta que pasa por dos puntos.

Condición de existencia de subespacio

El criterio para la verificación de que S sea subespacio de V, es que ambas operaciones (+ entre elementos del conjunto S y * con escalares del cuerpo K) sean cerradas, es decir, den como resultado elementos que también pertenezcan a S.

Para ello se definen cuatro axiomas que de cumplirse, garantizan la existencia del subespacio vectorial. Sea V un espacio vectorial, se define S como subespacio vectorial si y solo si:

1. S no es un conjunto vacío.
2. S es igual o está incluído en V.
3. La suma es ley de composición interna.
4. El producto es ley de composición externa.

Si estos cuatro axiomas se cumplen, entonces el conjunto es un subespacio.

Operaciones con subespacios

Sea (V, +, K, *) un espacio vectorial; (S, +, K, *) y (W, +, K, *) subespacios de V, se definen las siguientes operaciones:

Unión

En la gran mayoría de los casos la unión de dos subespacios no es un subespacio de V, pues no se cumple con la ley de composición interna.

Intersección

La intersección de dos subespacios es un subespacio de V.

Suma

La suma de dos subespacios es un subespacio de V.

Suma directa

Si la intersección entre S y W es el subespacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la suma se la llama "suma directa". Es decir que si .

Fórmula de Grassman (o Teorema de las dimensiones)

Sean los subespacios S, W del espacio vectorial V:

Esta fórmula resuelve que la dimensión de la suma de los subespacios S y W será igual a la dimensión del subespacio S más la dimensión del subespacio W menos la dimensión de la intersección de ambos.

Por ejemplo, siendo dim(S) = 3 y dim(W) = 2 y teniendo como intersección un subespacio de dimensión 1. Luego, dim(S + W) = 4.