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Teorema de Bayes

De Wikillerato

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A_1, \, A_2, \, \ldots, \, A_n \,
A_1, \, A_2, \, \ldots, \, A_n \,
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&nbsp; sucesos incompatibles dos a dos, tales que siempre ocurre alguno de ellos y la
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&nbsp; sucesos incompatibles dos a dos, tales que siempre ocurre alguno de ellos, y sea &nbsp;
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probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea &nbsp;
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B
B
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\, B \, \left| \, A_i \, \right.
\, B \, \left| \, A_i \, \right.
\right)
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Entonces las probabilidades &nbsp;
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\mathrm{P}
\mathrm{P}
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\mathrm{P}
\mathrm{P}
\left(
\left(
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\, B\, \left| \, A_i \, \right.
+
\, A_i \, \left| \, B \, \right.
\right)
\right)
\, = \, \frac
\, = \, \frac
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\left(
\left(
\, B \, \left| \, A_2 \, \right.
\, B \, \left| \, A_2 \, \right.
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\, + \, \ldots \, + \,
\, + \, \ldots \, + \,
\mathrm{P}
\mathrm{P}
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}
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==Demostración==
==Demostración==
Línea 125: Línea 118:
\mathrm{P}
\mathrm{P}
\left(
\left(
-
\, A_i \, \cap \, B \,
+
\, A_i \, \left| \, B \, \right.
\right)
\right)
</math>
</math>
Línea 136: Línea 129:
\mathrm{P}
\mathrm{P}
\left(
\left(
-
\, A_i \, \cap \, B \,
+
\, A_i \, \left| \, B \, \right.
\right)
\right)
\, = \, \frac
\, = \, \frac
Línea 189: Línea 182:
\left(
\left(
\, B \, \left| \, A_2 \, \right.
\, B \, \left| \, A_2 \, \right.
 +
\right)
\, + \, \ldots \, + \,
\, + \, \ldots \, + \,
\mathrm{P}
\mathrm{P}
Línea 211: Línea 205:
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Tenemos tres urna: &nbsp;
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Tenemos tres urnas: &nbsp;
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U_1
U_1
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&nbsp; con tres bolas rojas y 5 negras, &nbsp;
+
&nbsp; con tres bolas rojas y cinco negras, &nbsp;
<math>
<math>
U_2
U_2
Línea 254: Línea 248:
\, U_1 \, \left| \, R \, \, \right.
\, U_1 \, \left| \, R \, \, \right.
\right)
\right)
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\, = \,
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\, = \, \frac
\, = \, \frac
{
{
Línea 282: Línea 284:
\left(
\left(
\, R \, \left| \, U_2 \, \right.
\, R \, \left| \, U_2 \, \right.
 +
\right)
\, + \,
\, + \,
\mathrm{P}
\mathrm{P}
Línea 292: Línea 295:
\right)
\right)
}
}
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\, = \,
+
}
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\, = \, \frac
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\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8}
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}
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{
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\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8} \, + \, \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \, + \,
 +
\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5}
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}
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Revisión actual

Tabla de contenidos


Enunciado

Sean   A_1, \, A_2, \, \ldots, \, A_n \,   sucesos incompatibles dos a dos, tales que siempre ocurre alguno de ellos, y sea   B   un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales   \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, B \, \left| \, A_i \, \right. </pre> <p>\right) Entonces las probabilidades   \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right. </pre> <p>\right)   vienen dadas por la expresión:


\mathrm{P} \left( </p> <pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right. </pre> <p>\right) \, = \, \frac { </p> <pre> \mathrm{P} \left( \, A_i \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_i \, \right. \right) </pre> <p>} { </p> <pre> \mathrm{P} \left( \, A_1 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_1 \, \right. \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, A_2 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_2 \, \right. \right) \, + \, \ldots \, + \, \mathrm{P} \left( \, A_n \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_n \, \right. \right) </pre> <p>}





Demostración


Por definición de probabilidad condicionada


\mathrm{P} \left( </p> <pre> \, A_i \, \cap \, B \, </pre> <p>\right) \, = \, \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, A_i \, </pre> <p>\right) \cdot \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, B \, \left| \, A_i \, \right. </pre> <p>\right) \, = \, \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, B \, </pre> <p>\right) \cdot \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right. </pre> <p>\right)


despejando   \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right. </pre> <p>\right) , se tiene:


\mathrm{P} \left( </p> <pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right. </pre> <p>\right) \, = \, \frac { </p> <pre> \mathrm{P} \left( \, A_i \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_i \, \right. \right) </pre> <p>} { </p> <pre> \mathrm{P} \left( \, B \, \right) </pre> <p>}


La probabilidad   \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, B \, </pre> <p>\right) , por el teorema de la probabilidad total, es igual a


</p> <pre> \mathrm{P} \left( \, A_1 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_1 \, \right. \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, A_2 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_2 \, \right. \right) \, + \, \ldots \, + \, \mathrm{P} \left( \, A_n \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_n \, \right. \right) </pre> <p>


Sustituyendo en la ecuación anterior, obtenemos la fórmula de Bayes.


Ejemplo


Tenemos tres urnas:   U_1   con tres bolas rojas y cinco negras,   U_2   con dos bolas rojas y una negra y   U_3   con dos bolas rojas y tres negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna   U_1 ?


Llamamos   R   al suceso sacar bola roja. La probabilidad pedida es   \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, U_1 \, \left| \, R \, \, \right. </pre> <p>\right) . Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:


\mathrm{P} \left( </p> <pre> \, U_1 \, \left| \, R \, \, \right. </pre> <p>\right) \, = \,


\, = \, \frac { </p> <pre> \mathrm{P} \left( \, U_1 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, R \, \left| \, U_1 \, \right. \right) </pre> <p>} { </p> <pre> \mathrm{P} \left( \, U_1 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, R \, \left| \, U_1 \, \right. \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, U_2 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, R \, \left| \, U_2 \, \right. \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, U_3 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, R \, \left| \, U_3 \, \right. \right) </pre> <p>} }


\, = \, \frac { </p> <pre> \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8} </pre> <p>} { </p> <pre> \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8} \, + \, \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \, + \, \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} </pre> <p>}


Obtenido de "http://wikillerato.org/Teorema_de_Bayes.html"
   
 
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