Problemas de distancias
De Wikillerato
(36 ediciones intermedias no se muestran.) | |||
Línea 1: | Línea 1: | ||
- | |||
==Distancia entre dos puntos== | ==Distancia entre dos puntos== | ||
Línea 50: | Línea 49: | ||
r | r | ||
</math>. | </math>. | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | <center> | ||
+ | [[Imagen:dcPnLi.png]] | ||
+ | </center> | ||
<br/> | <br/> | ||
Línea 212: | Línea 217: | ||
</math> | </math> | ||
es | es | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
Línea 363: | Línea 371: | ||
por | por | ||
<math> | <math> | ||
- | \frac{10}{9} | + | \frac{-10}{9} |
</math> | </math> | ||
| | ||
Línea 395: | Línea 403: | ||
</math> | </math> | ||
y esta es: | y esta es: | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
Línea 402: | Línea 413: | ||
</center> | </center> | ||
- | [[ | + | <br/> |
+ | |||
+ | ==Distancia de un punto a un plano== | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | Sea | ||
+ | <math> | ||
+ | \pi | ||
+ | </math> | ||
+ | un plano con vector normal | ||
+ | <math> | ||
+ | \mathbf{n} | ||
+ | </math> | ||
+ | y al que pertenece el punto | ||
+ | <math> | ||
+ | Q | ||
+ | </math>. | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | La distancia de un punto | ||
+ | <math> | ||
+ | P | ||
+ | </math> | ||
+ | al plano | ||
+ | <math> | ||
+ | \pi | ||
+ | </math> | ||
+ | es la longitud de la proyección del vector | ||
+ | <math> | ||
+ | \vec{PQ} | ||
+ | </math> | ||
+ | en la dirección normal al plano | ||
+ | <math> | ||
+ | \pi | ||
+ | </math>, | ||
+ | que se puede calcular mediante la fórmula: | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \frac{\left| \, \mathbf{n} \cdot \vec{PQ} \, \right|}{\left| \vec{PQ} \right| \cdot \left| | ||
+ | \, \mathbf{n} \, \right|}} | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | <center> | ||
+ | [[Imagen:dcPnPlg.png]] | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | Now we know who the sensilbe one is here. Great post! | ||
+ | |||
+ | ==Distancia de una recta a un plano== | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | Sea | ||
+ | <math> | ||
+ | r | ||
+ | </math> | ||
+ | una recta paralela a un plano | ||
+ | <math> | ||
+ | \pi | ||
+ | </math>. | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | Para calcular la distancia de | ||
+ | <math> | ||
+ | r | ||
+ | </math> | ||
+ | a | ||
+ | <math> | ||
+ | \pi | ||
+ | </math> | ||
+ | lo unico que tenemos que hacer es encontrar un punto | ||
+ | <math> | ||
+ | P | ||
+ | </math> | ||
+ | en la recta | ||
+ | <math> | ||
+ | r | ||
+ | </math> | ||
+ | y [[Problemas de distancias#Distancia de un punto a un plano|calcular la distancia de este punto al plano]] | ||
+ | <math> | ||
+ | \pi | ||
+ | </math>. | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | ==Distancia entre dos rectas== | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | Para calcular la distancia entre dos rectas, | ||
+ | <math> | ||
+ | r | ||
+ | </math> | ||
+ | y | ||
+ | <math> | ||
+ | s | ||
+ | </math>, | ||
+ | que se cruzan se procede de la siguiente manera: | ||
+ | |||
+ | En primer lugar, se encuentran vectores directores de ambas rectas, | ||
+ | <math> | ||
+ | \mathbf{u}_r | ||
+ | </math> | ||
+ | y | ||
+ | <math> | ||
+ | \mathbf{u}_s | ||
+ | </math>, y un par de puntos, | ||
+ | <math> | ||
+ | P | ||
+ | </math> | ||
+ | y | ||
+ | <math> | ||
+ | Q | ||
+ | </math>, | ||
+ | en | ||
+ | <math> | ||
+ | r | ||
+ | </math> | ||
+ | y en | ||
+ | <math> | ||
+ | s | ||
+ | </math>, | ||
+ | respectivamente. | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | A continuación, se calcula la longitud de la proyección del vector | ||
+ | <math> | ||
+ | \vec{PQ} | ||
+ | </math> | ||
+ | en la dirección normal a un plano paralelo a | ||
+ | <math> | ||
+ | r | ||
+ | </math> | ||
+ | y a | ||
+ | <math> | ||
+ | s | ||
+ | </math>. Esta dirección es la del vector | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \mathbf{n} = \mathbf{u}_r \times \mathbf{u}_s | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | La distancia que buscamos la podemos cacular con la formula | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \frac{\left| \, \mathbf{n} \cdot \vec{PQ} \, \right|} | ||
+ | {\left| \vec{PQ} \right| \cdot \left| \, \mathbf{n} \, \right|}} | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | [[categoría: matemáticas]] |
Revisión actual
Tabla de contenidos |
Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos y es
Distancia entre un punto y una recta
La distancia de un punto a una recta es la distancia entre y su proyeccion en la recta .
Ejemplo
Calculemos la distancia del punto a la recta de ecuaciones
Sea la proyección del punto en la recta . Queremos calcular la distancia de a y para ello necesitamos conocer .
Para hallar vamos a resolver un sistema de tres ecuaciones, dos de ellas son las de la recta y la otra ecuación procede de igualar a cero el producto escalar del vector
por un vector director de la recta . El producto escalar de ambos vectores es cero porque son perpendiculares (la recta que pasa por y es perpendicular a la recta ).
Podemos obtener un vector director de la recta multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano por un vector perpendicular al plano .
Un vector perpendicular al plano lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuación de :
De la misma forma obtenemos un vector perpendicular al plano :
El producto vectorial de ambos vectores, y es
donde
El producto escalar de por es
donde la primera fila del determinante es el vector .
El punto es, pues, la solución del sistema de ecuaciones
Restando a la tercera ecuación la primera y la segunda se tiene que
con lo cual . Sustituyendo por en la tercera ecuación del sistema y despejando se llega a que
Finalmente, sustituyendo por y por en la segunda ecuación del sistema y despejando se llega a que
La distancia de a coincide con la distancia de a y esta es:
Distancia de un punto a un plano
Sea un plano con vector normal y al que pertenece el punto .
La distancia de un punto al plano es la longitud de la proyección del vector en la dirección normal al plano , que se puede calcular mediante la fórmula:
Now we know who the sensilbe one is here. Great post!
Distancia de una recta a un plano
Sea una recta paralela a un plano .
Para calcular la distancia de a lo unico que tenemos que hacer es encontrar un punto en la recta y calcular la distancia de este punto al plano .
Distancia entre dos rectas
Para calcular la distancia entre dos rectas, y , que se cruzan se procede de la siguiente manera:
En primer lugar, se encuentran vectores directores de ambas rectas, y , y un par de puntos, y , en y en , respectivamente.
A continuación, se calcula la longitud de la proyección del vector en la dirección normal a un plano paralelo a y a . Esta dirección es la del vector
La distancia que buscamos la podemos cacular con la formula