Problemas de distancias
De Wikillerato
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Tabla de contenidos[ocultar] |
Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos
y
es
Distancia entre un punto y una recta
La distancia de un punto
a una recta
es la distancia entre
y su proyeccion
en la recta
.
Ejemplo
Calculemos la distancia del punto
a la recta
de ecuaciones
Sea
la proyección del punto
en la recta
.
Queremos calcular la distancia de
a
y para ello necesitamos conocer
.
Para hallar
vamos a resolver un sistema de tres ecuaciones, dos de ellas son las de la recta
y la otra ecuación procede de igualar a cero el producto escalar del vector
por un vector director de la recta
.
El producto escalar de ambos vectores es cero porque son perpendiculares (la recta que pasa por
y
es perpendicular a la recta
).
Podemos obtener un vector director
de la recta
multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano
por un vector perpendicular al plano
.
Un vector
perpendicular al plano
lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuación de
:
De la misma forma obtenemos un vector
perpendicular al plano
:
El producto vectorial de ambos vectores,
y
es
donde
El producto escalar de
por
es
donde la primera fila del determinante es el vector
.
El punto
es, pues, la solución del sistema de ecuaciones
Restando a la tercera ecuación la primera y la segunda se tiene que
con lo cual
.
Sustituyendo
por
en la tercera ecuación del sistema y despejando
se llega a que
Finalmente, sustituyendo
por
y
por
en la segunda ecuación del sistema y despejando
se llega a que
La distancia de
a
coincide con la distancia de
a
y esta es:
Distancia de un punto a un plano
Sea
un plano con vector normal
y al que pertenece el punto
.
La distancia de un punto
al plano
es la longitud de la proyección del vector
en la dirección normal al plano
,
que se puede calcular mediante la fórmula:
Now we know who the sensilbe one is here. Great post!
Distancia de una recta a un plano
Sea
una recta paralela a un plano
.
Para calcular la distancia de
a
lo unico que tenemos que hacer es encontrar un punto
en la recta
y calcular la distancia de este punto al plano
.
Distancia entre dos rectas
Para calcular la distancia entre dos rectas,
y
,
que se cruzan se procede de la siguiente manera:
En primer lugar, se encuentran vectores directores de ambas rectas,
y
, y un par de puntos,
y
,
en
y en
,
respectivamente.
A continuación, se calcula la longitud de la proyección del vector
en la dirección normal a un plano paralelo a
y a
. Esta dirección es la del vector
La distancia que buscamos la podemos cacular con la formula
