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Problemas de distancias

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
(→Distancia entre dos rectas)
Revisión actual (14:18 18 nov 2011) (editar) (deshacer)
 
(12 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 1: Línea 1:
-
Now I feel stupid. That's claered it up for me
+
==Distancia entre dos puntos==
-
 
+
-
==Distancia de un punto a un plano==
+
<br/>
<br/>
-
Sea
+
La distancia entre dos puntos &nbsp;
<math>
<math>
-
\pi
+
P = \left( \, x, \, y, \, z \, \right)
</math>
</math>
-
un plano con vector normal
+
&nbsp; y &nbsp;
<math>
<math>
-
\mathbf{n}
+
P^\prime = \left( \, x^\prime, \, y^\prime, \, z^\prime \, \right)
</math>
</math>
-
y al que pertenece el punto &nbsp;
+
&nbsp; es
 +
<center>
<math>
<math>
-
Q
+
\mathrm{d} \left( \, P, \, P^\prime \, \right) =
-
</math>.
+
\sqrt{
 +
\left( \, x - x^\prime \, \right)^2 +
 +
\left( \, y - y^\prime \, \right)^2 +
 +
\left( \, z - z^\prime \, \right)^2
 +
}
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
==Distancia entre un punto y una recta==
<br/>
<br/>
Línea 24: Línea 33:
P
P
</math>
</math>
-
al plano
+
a una recta
<math>
<math>
-
\pi
+
r
</math>
</math>
-
es la longitud de la proyección del vector
+
es la distancia entre
<math>
<math>
-
\vec{PQ}
+
P
</math>
</math>
-
en la dirección normal al plano
+
y su proyeccion
<math>
<math>
-
\pi
+
P^\prime
-
</math>,
+
</math>
-
que se puede calcular mediante la fórmula:
+
en la recta
-
<center>
+
<math>
<math>
-
\frac{\left| \, \mathbf{n} \cdot \vec{PQ} \, \right|}{\left| \vec{PQ} \right| \cdot \left|
+
r
-
\, \mathbf{n} \, \right|}}
+
</math>.
-
</math>
+
-
</center>
+
<br/>
<br/>
<center>
<center>
-
[[Imagen:dcPnPlg.png]]
+
[[Imagen:dcPnLi.png]]
</center>
</center>
Línea 60: Línea 66:
P = \left( \, 2, \, 1, \, 0 \, \right)
P = \left( \, 2, \, 1, \, 0 \, \right)
</math>
</math>
-
&nbsp; al plano
+
&nbsp; a la recta
<math>
<math>
-
\pi
+
r
</math>
</math>
-
de ecuación:
+
de ecuaciones
<br/>
<br/>
Línea 70: Línea 76:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
x - y - z = 9
+
r:
 +
\left\{
 +
\begin{array}{l}
 +
0 = x - 2y + 3z
 +
\\
 +
0 = 2x - y + 4
 +
\end{array}
 +
\right.
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 76: Línea 89:
<br/>
<br/>
-
Un vector normal al plano
+
Sea &nbsp;
<math>
<math>
-
\pi
+
P^\prime = \left( \, x, \, y, \, z \, \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; la proyección del punto
 +
<math>
 +
P
 +
</math>
 +
en la recta
 +
<math>
 +
r
 +
</math>.
 +
Queremos calcular la distancia de
 +
<math>
 +
P
 +
</math>
 +
a
 +
<math>
 +
P^\prime
 +
</math>
 +
y para ello necesitamos conocer
 +
<math>
 +
P^\prime
 +
</math>.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Para hallar
 +
<math>
 +
P^\prime
 +
</math>
 +
vamos a resolver un sistema de tres ecuaciones, dos de ellas son las de la recta
 +
<math>
 +
r
</math>
</math>
-
es el vector
+
y la otra ecuación procede de igualar a cero el producto escalar del vector
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\mathbf{n} = \left( \, 1, \, -1, \, -1 \, \right)
+
\vec{PP^\prime} =
 +
\left(
 +
\, x, \, y, \, z \,
 +
\right)
 +
-
 +
\left(
 +
\, 2, \, 1, \, 0 \,
 +
\right)
</math>
</math>
</center>
</center>
 +
por un vector director de la recta
 +
<math>
 +
r
 +
</math>.
 +
El producto escalar de ambos vectores es cero porque son perpendiculares (la recta que pasa por
 +
<math>
 +
P
 +
</math>
 +
y
 +
<math>
 +
P^\prime
 +
</math>
 +
es perpendicular a la recta
 +
<math>
 +
r
 +
</math>
 +
).
<br/>
<br/>
-
Para encontrar un punto
+
Podemos obtener un vector director
<math>
<math>
-
Q
+
\mathbf{u}
</math>
</math>
-
del plano
+
de la recta
<math>
<math>
-
\pi
+
r
</math>
</math>
-
damos valores a
+
[[Producto vectorial|multiplicando vectorialmente]] un vector perpendicular al plano
<math>
<math>
-
x
+
\pi_1
</math>
</math>
-
y a
+
por un vector perpendicular al plano
<math>
<math>
-
y
+
\pi_2
 +
</math>.
 +
 
 +
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 +
<math>
 +
\mathbf{n}_1
</math>
</math>
-
en la ecuación del plano
+
perpendicular al plano
<math>
<math>
-
\pi
+
\pi_1
-
</math>,
+
</math>
-
por ejemplo,
+
lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuación de
-
&nbsp;
+
<math>
<math>
-
x = y = 1
+
\pi_1
-
</math>,
+
</math>:
-
&nbsp;
+
 
-
y despejamos
+
<center>
<math>
<math>
-
z
+
\mathbf{n}_1 = \left( \, 1, \, -2, \, 3 \, \right)
-
</math>,
+
</math>
-
lo que nos da una ecuación en
+
</center>
 +
 
 +
De la misma forma obtenemos un vector
<math>
<math>
-
z
+
\mathbf{n}_2
 +
</math>
 +
perpendicular al plano
 +
<math>
 +
\pi_2
</math>:
</math>:
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\mathbf{n}_2 = \left( \, 2, \, -1, \, 0 \, \right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
El producto vectorial de ambos vectores,
 +
<math>
 +
\mathbf{n}_1
 +
</math>
 +
y
 +
<math>
 +
\mathbf{n}_2
 +
</math>
 +
es
<br/>
<br/>
Línea 128: Línea 222:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
1 - 1 - z = 9
+
\mathbf{u} =
 +
\left|
 +
\begin{array}{ccc}
 +
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}
 +
\\
 +
1 & -2 & 3
 +
\\
 +
2 & -1 & 0
 +
\end{array}
 +
\right| = \left( \, 3, \, 6, \, 3 \, \right)
</math>
</math>
</center>
</center>
-
cuya solución es:
+
 
 +
<br/>
 +
 
 +
donde
<center>
<center>
<math>
<math>
-
z = -9
+
\begin{array}{ll}
 +
\mathbf{i} & = \left( \, 1, \, 0, \, 0 \, \right)
 +
\\
 +
\mathbf{j} & = \left( \, 0, \, 1, \, 0 \, \right)
 +
\\
 +
\mathbf{k} & = \left( \, 0, \, 0, \, 1 \, \right)
 +
\end{array}
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 140: Línea 252:
<br/>
<br/>
-
Por lo tanto &nbsp;
+
El producto escalar de
<math>
<math>
-
Q = \left( \, 1, \, 1, \, -9 \, \right)
+
\mathbf{u}
</math>
</math>
-
&nbsp; es un punto del plano
+
por &nbsp;
<math>
<math>
-
\pi
+
\vec{PP^\prime }
 +
</math>
 +
&nbsp; es
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left|
 +
\begin{array}{ccc}
 +
x - 2 & y - 1 & z - 0
 +
\\
 +
1 & -2 & 3
 +
\\
 +
2 & -1 & 0
 +
\end{array}
 +
\right|
 +
= \left( \, x - 2, \, y - 1, \, z - 0 \, \right) \cdot \left( \, 3, \, 6, \, 3
 +
\, \right) =
 +
</math>
 +
</center>
 +
<center>
 +
<math>
 +
= 3 \cdot \left( \, x - 2 \, \right) + 6 \cdot \left( \, y - 1 \,
 +
\right) + 3 \cdot \left( \, z - 0 \, \right) = 3x + 6y + 3z -12 = 0
 +
\right|
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
donde la primera fila del determinante es el vector &nbsp;
 +
<math>
 +
\vec{PP^\prime }
</math>.
</math>.
<br/>
<br/>
 +
 +
El punto
 +
<math>
 +
P^\prime
 +
</math>
 +
es, pues, la solución del sistema de ecuaciones
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left\{
 +
\begin{array}{l}
 +
0 = 3x + 6y + 3z -12
 +
\\
 +
0 = x - 2y + 3z
 +
\\
 +
0 = 2x - y + 4
 +
\end{array}
 +
\right.
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Restando a la tercera ecuación la primera y la segunda se tiene que
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
0 = 9y - 16
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
con lo cual &nbsp;
 +
<math>
 +
y = \frac{16}{9}
 +
</math>.
 +
&nbsp; Sustituyendo
 +
<math>
 +
y
 +
</math>
 +
por
 +
<math>
 +
\frac{16}{9}
 +
</math>
 +
en la tercera ecuación del sistema y despejando
 +
<math>
 +
x
 +
</math>
 +
se llega a que
 +
<center>
 +
<math>
 +
x = \frac{y}{2} - 2 = \frac{8}{9} - 2 = -\frac{10}{9}
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Finalmente, sustituyendo
 +
<math>
 +
y
 +
</math>
 +
por
 +
<math>
 +
\frac{16}{9}
 +
</math>
 +
y
 +
<math>
 +
x
 +
</math>
 +
por &nbsp;
 +
<math>
 +
\frac{-10}{9}
 +
</math>
 +
&nbsp;
 +
en la segunda ecuación del sistema y despejando
 +
<math>
 +
z
 +
</math>
 +
se llega a que
 +
<center>
 +
<math>
 +
z = \frac{1}{3} \cdot \left( \, 2y - x \, \right) = \frac{1}{3} \cdot \left( \,
 +
2 \cdot \frac{16}{9} + \frac{10}{9} \, \right) = \frac{42}{27} = \frac{14}{9}
 +
</math>
 +
</center>
La distancia de
La distancia de
Línea 157: Línea 392:
a
a
<math>
<math>
-
\pi
+
r
</math>
</math>
-
es
+
coincide con la distancia de
 +
<math>
 +
P
 +
</math>
 +
a
 +
<math>
 +
P^\prime
 +
</math>
 +
y esta es:
<br/>
<br/>
Línea 165: Línea 408:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\frac{\left| \, \vec{PQ} \cdot \mathbf{n} \, \right|}{\left| \, \vec{PQ} \,
+
\sqrt{\left( \, 2 - \left( \, -\frac{10}{9} \, \right) \right)^2 + \left( \, 1 - \frac{16}{9} \, \right)^2 + \left( \, 0 -
-
\right| \cdot \left| \mathbf{n} \right|} =
+
\frac{14}{9} \, \right)^2}
-
\frac{\left| \left( \, 1 - 2, \, 1 - 1, \, -9 - 0 \, \right) \cdot
+
-
\left( \, 1, \, -1, \, -1 \, \right)
+
-
\right|}{\left| \left( \, -1, \, 0, \, -9 \, \right) \right| \cdot \left| \left(\, 1, \, -1, \, -1 \, \right)
+
-
\right|} =
+
-
\frac{-1 + 0 + 9}{\sqrt{246}}
+
</math>
</math>
</center>
</center>
<br/>
<br/>
 +
 +
==Distancia de un punto a un plano==
 +
 +
<br/>
 +
 +
Sea
 +
<math>
 +
\pi
 +
</math>
 +
un plano con vector normal
 +
<math>
 +
\mathbf{n}
 +
</math>
 +
y al que pertenece el punto &nbsp;
 +
<math>
 +
Q
 +
</math>.
 +
 +
<br/>
 +
 +
La distancia de un punto
 +
<math>
 +
P
 +
</math>
 +
al plano
 +
<math>
 +
\pi
 +
</math>
 +
es la longitud de la proyección del vector
 +
<math>
 +
\vec{PQ}
 +
</math>
 +
en la dirección normal al plano
 +
<math>
 +
\pi
 +
</math>,
 +
que se puede calcular mediante la fórmula:
 +
<center>
 +
<math>
 +
\frac{\left| \, \mathbf{n} \cdot \vec{PQ} \, \right|}{\left| \vec{PQ} \right| \cdot \left|
 +
\, \mathbf{n} \, \right|}}
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
[[Imagen:dcPnPlg.png]]
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Now we know who the sensilbe one is here. Great post!
==Distancia de una recta a un plano==
==Distancia de una recta a un plano==
Línea 215: Línea 506:
<br/>
<br/>
-
AFAIC that's the best asnewr so far!
+
==Distancia entre dos rectas==
-
==Distancia entre dos planos==
+
<br/>
 +
 
 +
Para calcular la distancia entre dos rectas,
 +
<math>
 +
r
 +
</math>
 +
y
 +
<math>
 +
s
 +
</math>,
 +
que se cruzan se procede de la siguiente manera:
 +
 
 +
En primer lugar, se encuentran vectores directores de ambas rectas, &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathbf{u}_r
 +
</math>
 +
&nbsp; y &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathbf{u}_s
 +
</math>, y un par de puntos, &nbsp;
 +
<math>
 +
P
 +
</math>
 +
&nbsp; y &nbsp;
 +
<math>
 +
Q
 +
</math>,
 +
&nbsp; en
 +
<math>
 +
r
 +
</math>
 +
y en
 +
<math>
 +
s
 +
</math>,
 +
respectivamente.
<br/>
<br/>
-
Para calcular la distancia entre dos planos paralelos, &nbsp;
+
A continuación, se calcula la longitud de la proyección del vector
<math>
<math>
-
\pi_1
+
\vec{PQ}
</math>
</math>
-
&nbsp; y
+
en la dirección normal a un plano paralelo a
<math>
<math>
-
\pi_2
+
r
</math>
</math>
-
, se coge un punto de &nbsp;
+
y a
<math>
<math>
-
\pi_1
+
s
 +
</math>. Esta dirección es la del vector
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\mathbf{n} = \mathbf{u}_r \times \mathbf{u}_s
</math>
</math>
-
&nbsp;
+
</center>
-
y se [[Problemas de distancias#Distancia de un punto a un plano|calcula la distancia de este punto al plano]] &nbsp;
+
 
 +
La distancia que buscamos la podemos cacular con la formula
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
<math>
<math>
-
\pi_2
+
\frac{\left| \, \mathbf{n} \cdot \vec{PQ} \, \right|}
-
</math>.
+
{\left| \vec{PQ} \right| \cdot \left| \, \mathbf{n} \, \right|}}
 +
</math>
 +
</center>
<br/>
<br/>
-
[[Category:Matemáticas]]
+
[[categoría: matemáticas]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

Distancia entre dos puntos


La distancia entre dos puntos   P = \left( \, x, \, y, \, z \, \right)   y   P^\prime = \left( \, x^\prime, \, y^\prime, \, z^\prime \, \right)   es

\mathrm{d} \left( \, P, \, P^\prime \, \right) = \sqrt{ </p> <pre> \left( \, x - x^\prime \, \right)^2 + \left( \, y - y^\prime \, \right)^2 + \left( \, z - z^\prime \, \right)^2 </pre> <p>}


Distancia entre un punto y una recta


La distancia de un punto P a una recta r es la distancia entre P y su proyeccion P^\prime en la recta r .


Imagen:dcPnLi.png


Ejemplo


Calculemos la distancia del punto   P = \left( \, 2, \, 1, \, 0 \, \right)   a la recta r de ecuaciones


r: \left\{ </p> <pre> \begin{array}{l} 0 = x - 2y + 3z \\ 0 = 2x - y + 4 \end{array} </pre> <p>\right.


Sea   P^\prime = \left( \, x, \, y, \, z \, \right)   la proyección del punto P en la recta r . Queremos calcular la distancia de P a P^\prime y para ello necesitamos conocer P^\prime .


Para hallar P^\prime vamos a resolver un sistema de tres ecuaciones, dos de ellas son las de la recta r y la otra ecuación procede de igualar a cero el producto escalar del vector

\vec{PP^\prime} = \left( </p> <pre> \, x, \, y, \, z \, </pre> <p>\right) - \left( </p> <pre> \, 2, \, 1, \, 0 \, </pre> <p>\right)

por un vector director de la recta r . El producto escalar de ambos vectores es cero porque son perpendiculares (la recta que pasa por P y P^\prime es perpendicular a la recta r ).


Podemos obtener un vector director \mathbf{u} de la recta r multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano \pi_1 por un vector perpendicular al plano \pi_2 .

Un vector \mathbf{n}_1 perpendicular al plano \pi_1 lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuación de \pi_1 :

\mathbf{n}_1 = \left( \, 1, \, -2, \, 3 \, \right)

De la misma forma obtenemos un vector \mathbf{n}_2 perpendicular al plano \pi_2 :

\mathbf{n}_2 = \left( \, 2, \, -1, \, 0 \, \right)

El producto vectorial de ambos vectores, \mathbf{n}_1 y \mathbf{n}_2 es


\mathbf{u} = \left| </p> <pre> \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & -1 & 0 \end{array} </pre> <p>\right| = \left( \, 3, \, 6, \, 3 \, \right)


donde

\begin{array}{ll} </p> <pre> \mathbf{i} & = \left( \, 1, \, 0, \, 0 \, \right) \\ \mathbf{j} & = \left( \, 0, \, 1, \, 0 \, \right) \\ \mathbf{k} & = \left( \, 0, \, 0, \, 1 \, \right) </pre> <p>\end{array}


El producto escalar de \mathbf{u} por   \vec{PP^\prime }   es


\left| </p> <pre> \begin{array}{ccc} x - 2 & y - 1 & z - 0 \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & -1 & 0 \end{array} </pre> <p>\right| = \left( \, x - 2, \, y - 1, \, z - 0 \, \right) \cdot \left( \, 3, \, 6, \, 3 </p> <pre> \, \right) = </pre> <p>

= 3 \cdot \left( \, x - 2 \, \right) + 6 \cdot \left( \, y - 1 \, \right) + 3 \cdot \left( \, z - 0 \, \right) = 3x + 6y + 3z -12 = 0 \right|


donde la primera fila del determinante es el vector   \vec{PP^\prime } .


El punto P^\prime es, pues, la solución del sistema de ecuaciones


\left\{ </p> <pre> \begin{array}{l} 0 = 3x + 6y + 3z -12 \\ 0 = x - 2y + 3z \\ 0 = 2x - y + 4 \end{array} </pre> <p>\right.


Restando a la tercera ecuación la primera y la segunda se tiene que


0 = 9y - 16


con lo cual   y = \frac{16}{9} .   Sustituyendo y por \frac{16}{9} en la tercera ecuación del sistema y despejando x se llega a que

x = \frac{y}{2} - 2 = \frac{8}{9} - 2 = -\frac{10}{9}


Finalmente, sustituyendo y por \frac{16}{9} y x por   \frac{-10}{9}   en la segunda ecuación del sistema y despejando z se llega a que

z = \frac{1}{3} \cdot \left( \, 2y - x \, \right) = \frac{1}{3} \cdot \left( \, </p> <pre> 2 \cdot \frac{16}{9} + \frac{10}{9} \, \right) = \frac{42}{27} = \frac{14}{9} </pre> <p>

La distancia de P a r coincide con la distancia de P a P^\prime y esta es:


\sqrt{\left( \, 2 - \left( \, -\frac{10}{9} \, \right) \right)^2 + \left( \, 1 - \frac{16}{9} \, \right)^2 + \left( \, 0 - </p> <pre> \frac{14}{9} \, \right)^2} </pre> <p>


Distancia de un punto a un plano


Sea \pi un plano con vector normal \mathbf{n} y al que pertenece el punto   Q .


La distancia de un punto P al plano \pi es la longitud de la proyección del vector \vec{PQ} en la dirección normal al plano \pi , que se puede calcular mediante la fórmula:

\frac{\left| \, \mathbf{n} \cdot \vec{PQ} \, \right|}{\left| \vec{PQ} \right| \cdot \left| </p> <pre> \, \mathbf{n} \, \right|}} </pre> <p>


Imagen:dcPnPlg.png


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Distancia de una recta a un plano


Sea r una recta paralela a un plano \pi .


Para calcular la distancia de r a \pi lo unico que tenemos que hacer es encontrar un punto P en la recta r y calcular la distancia de este punto al plano \pi .


Distancia entre dos rectas


Para calcular la distancia entre dos rectas, r y s , que se cruzan se procede de la siguiente manera:

En primer lugar, se encuentran vectores directores de ambas rectas,   \mathbf{u}_r   y   \mathbf{u}_s , y un par de puntos,   P   y   Q ,   en r y en s , respectivamente.


A continuación, se calcula la longitud de la proyección del vector \vec{PQ} en la dirección normal a un plano paralelo a r y a s . Esta dirección es la del vector


\mathbf{n} = \mathbf{u}_r \times \mathbf{u}_s

La distancia que buscamos la podemos cacular con la formula


\frac{\left| \, \mathbf{n} \cdot \vec{PQ} \, \right|} {\left| \vec{PQ} \right| \cdot \left| \, \mathbf{n} \, \right|}}


Obtenido de "http://wikillerato.org/Problemas_de_distancias.html"
   
 
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