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Teorema de Bayes

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
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__TOC__
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==Definicion==
+
==Enunciado==
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Llamamos '''''probabilidad condicionada''''' del suceso &nbsp;
+
Sean &nbsp;
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<math>
 +
A_1, \, A_2, \, l1, \, A_n \,
 +
</math>
 +
&nbsp; sucesos incompatibles, tales que siempre ocurre uno de ellos y la probabilidad de
 +
cada uno de ellos es distinta de cero, y sea &nbsp;
<math>
<math>
B
B
</math>
</math>
-
&nbsp; respecto del suceso &nbsp;
+
&nbsp; un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales &nbsp;
<math>
<math>
-
A
+
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, A_i \, \left| \, B \, \right.
 +
\right)
</math>
</math>
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, y lo denotamos por &nbsp;
+
.
 +
 
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<br/>
 +
 
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Entonces las probabilidades &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{P}
\mathrm{P}
\left(
\left(
-
\, B \, \left| \, A \, \, \right.
+
\, B\, \left| \, A_i \, \right.
\right)
\right)
</math>
</math>
-
&nbsp; al cociente
+
&nbsp; vienen dadas por la expresión:
<br/>
<br/>
Línea 28: Línea 40:
\mathrm{P}
\mathrm{P}
\left(
\left(
-
\, B \, \left| \, A \, \right.
+
\, B\, \left| \, A_i \, \right.
\right)
\right)
-
\, = \,
+
\, = \, \frac
-
\frac
+
{
{
-
\mathrm{P}
+
\mathrm{P}
\left(
\left(
-
\, A \, \cap \, B \,
+
\, A_i \,
 +
\right)
 +
\cdot \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, B \, \left| \, A_i \, \right.
\right)
\right)
}
}
{
{
-
\mathrm{P} \left( \, A \, \right)
+
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, A_1 \,
 +
\right)
 +
\cdot \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, B \, \left| \, A_1 \, \right.
 +
\right)
 +
\, + \,
 +
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, A_2 \,
 +
\right)
 +
\cdot \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, B \, \left| \, A_2 \, \rightl1ight)
 +
\, + \, \ldots \, + \,
 +
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, A_n \,
 +
\right)
 +
\cdot \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, B \, \left| \, A_n \, \right.
 +
\right)
}
}
</math>
</math>
Línea 46: Línea 85:
<br/>
<br/>
-
==Ejemplo==
+
==Demostración==
<br/>
<br/>
-
Se lanzan dos dados. Si la suma ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que alguno de los
+
Por definición de probabilidad condicionada
-
dados haya salido un tres?
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Sean los sucesos &nbsp;
+
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<br/>
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<center>
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<math>
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A
+
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, A_i \, \cap \, B \,
 +
\right)
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\, = \,
 +
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, A_i \,
 +
\right)
 +
\cdot \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, B \, \left| \, A_i \, \right.
 +
\right)
 +
\, = \, \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, B \,
 +
\right)
 +
\cdot \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, A_i \, \left| \, B \, \right.
 +
\right)
</math>
</math>
-
&nbsp; = "la suma de los puntos es siete" y
+
</center>
<br/>
<br/>
 +
despejando &nbsp;
<math>
<math>
-
B
+
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, A_i \, \cap \, B \,
 +
\right)
</math>
</math>
-
&nbsp; = "en alguno de los dados ha salido un tres"
+
, se tiene:
<br/>
<br/>
-
El suceso &nbsp;
+
<center>
<math>
<math>
-
B \, \left| \, A \, \right.
+
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, A_i \, \cap \, B \,
 +
\right)
 +
\, = \, \frac
 +
{
 +
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, A_i \,
 +
\right)
 +
\cdot \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, B \, \left| \, A_i \, \right.
 +
\right)
 +
}
 +
{
 +
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, B \,
 +
\right)
 +
}
</math>
</math>
-
&nbsp; es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que esta situación
+
</center>
-
ocurre en las parejas de resultados &nbsp;
+
 
 +
<br/>
 +
 
 +
La probabilidad &nbsp;
<math>
<math>
 +
\mathrm{P}
\left(
\left(
-
\, 3, \, 4 \,
+
\, B \,
\right)
\right)
</math>
</math>
-
&nbsp; y &nbsp;
+
, por el teorema de la probabilidad total, es igual a
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
<math>
<math>
 +
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, A_1 \,
 +
\right)
 +
\cdot \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, B \, \left| \, A_1 \, \right.
 +
\right)
 +
\, + \,
 +
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, A_2 \,
 +
\right)
 +
\cdot \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, B \, \left| \, A_2 \, \right.
 +
\, + \, \ldots \, + \,
 +
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, A_n \,
 +
\right)
 +
\cdot \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, B \, \left| \, A_n \, \right.
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Sustituyendo en la ecuación anterior, obtenemos la fórmula de Bayes.
 +
 +
<br/>
 +
 +
==Ejemplo==
 +
 +
<br/>
 +
 +
Tenemos tres urna: &nbsp;
 +
<math>
 +
U_1
 +
</math>
 +
&nbsp; con tres bolas rojas y 5 negras, &nbsp;
 +
<math>
 +
U_2
 +
</math>
 +
&nbsp; con dos bolas rojas y una negra y &nbsp;
 +
<math>
 +
U_3
 +
</math>
 +
&nbsp; con dos bolas rojas y tres negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una
 +
bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna
 +
&nbsp;
 +
<math>
 +
U_1
 +
</math>
 +
?
 +
 +
<br/>
 +
 +
Llamamos &nbsp;
 +
<math>
 +
R
 +
</math>
 +
&nbsp; al suceso sacar bola roja. La probabilidad pedida es &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{P}
\left(
\left(
-
\, 4, \, 3 \,
+
\, U_1 \, \left| \, R \, \, \right.
\right)
\right)
</math>
</math>
-
. Por tanto,
+
. Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:
<br/>
<br/>
Línea 96: Línea 252:
\mathrm{P}
\mathrm{P}
\left(
\left(
-
\, B \, \left| \, A \, \right.
+
\, U_1 \, \left| \, R \, \, \right.
\right)
\right)
-
\, = \, \frac{2}{6} \, = \, \frac{1}{3}
+
\, = \, \frac
 +
{
 +
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, U_1 \,
 +
\right)
 +
\cdot \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, R \, \left| \, U_1 \, \right.
 +
\right)
 +
}
 +
{
 +
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, U_1 \,
 +
\right)
 +
\cdot \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, R \, \left| \, U_1 \, \right.
 +
\right)
 +
\, + \,
 +
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, U_2 \,
 +
\right)
 +
\cdot \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, R \, \left| \, U_2 \, \right.
 +
\, + \,
 +
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, U_3 \,
 +
\right)
 +
\cdot \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, R \, \left| \, U_3 \, \right.
 +
\right)
 +
}
 +
\, = \,
</math>
</math>
</center>
</center>

Revisión de 19:15 26 dic 2006

Tabla de contenidos


Enunciado


Sean   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]   sucesos incompatibles, tales que siempre ocurre uno de ellos y la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea   B   un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales   \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right. </pre> <p>\right) .


Entonces las probabilidades   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]   vienen dadas por la expresión:


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


Demostración


Por definición de probabilidad condicionada


\mathrm{P} \left( </p> <pre> \, A_i \, \cap \, B \, </pre> <p>\right) \, = \, \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, A_i \, </pre> <p>\right) \cdot \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, B \, \left| \, A_i \, \right. </pre> <p>\right) \, = \, \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, B \, </pre> <p>\right) \cdot \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right. </pre> <p>\right)


despejando   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ] , se tiene:


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


La probabilidad   \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, B \, </pre> <p>\right) , por el teorema de la probabilidad total, es igual a


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


Sustituyendo en la ecuación anterior, obtenemos la fórmula de Bayes.


Ejemplo


Tenemos tres urna:   U_1   con tres bolas rojas y 5 negras,   U_2   con dos bolas rojas y una negra y   U_3   con dos bolas rojas y tres negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna   U_1 ?


Llamamos   R   al suceso sacar bola roja. La probabilidad pedida es   \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, U_1 \, \left| \, R \, \, \right. </pre> <p>\right) . Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


Obtenido de "http://wikillerato.org/Teorema_de_Bayes.html"
   
 
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