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Distribuciones discretas

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Línea 1: Línea 1:
__TOC__
__TOC__
-
==Definicion==
+
==Función de probabilidad==
<br/>
<br/>
-
Se llama '''''variable aleatoria''''' a toda aplicación &nbsp;
+
Denotaremos como &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, X \, = \, x_i \,
 +
\right)
 +
</math>
 +
&nbsp; a la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor &nbsp;
 +
<math>
 +
x_i
 +
</math>
 +
.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Se llama '''''función de probabilidad de una variable aleatoria discreta &nbsp;
<math>
<math>
X
X
</math>
</math>
-
&nbsp; del espacio muestral &nbsp;
+
''''' a la aplicacion que a cada valor de &nbsp;
<math>
<math>
-
E
+
x_i
</math>
</math>
-
&nbsp; en un subconjunto de los numeros reales:
+
&nbsp; de la variable le hace corresponder la probabilidad de que la variable tome dicho
 +
valor:
<br/>
<br/>
Línea 19: Línea 35:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
X: \, E \longrightarrow R
+
\mathrm{f}
 +
\left(
 +
\, x_i \,
 +
\right)
 +
\, = \,
 +
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, X \, = \, x_i \,
 +
\right)
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 25: Línea 49:
<br/>
<br/>
-
Al conjunto de valores de &nbsp;
+
Por definición, deducimos que si &nbsp;
<math>
<math>
-
R
+
\left\{
 +
\, x_1, \, x_2, \ldots, \, x_n \,
 +
\right\}
</math>
</math>
-
&nbsp; asignados a los elementos de &nbsp;
+
&nbsp; son los valores que puede tomar la variable &nbsp;
<math>
<math>
-
E
+
X
</math>
</math>
-
&nbsp; se le llama '''''recorrido''''' de la variable aleatoria y se representa por
+
, entonces:
-
&nbsp;
+
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
<math>
<math>
-
X
+
\sum_{i \, = \, 1}^n \mathrm{f} \left( \, x_i \, \right) \, = \, \mathrm{f} \left( \,
-
\left(
+
x_1 \, \right) \, + \, \mathrm{f} \left( \, x_2 \, \right) \, + \,
-
\, E \,
+
\ldots \, + \, \mathrm{f} \left( \, x_n \, \right) \, = \, 1
-
\right)
+
</math>
</math>
-
.
+
</center>
<br/>
<br/>
-
Una '''''variable aleatoria''''' es un valor numérico que corresponde al resultado de un
+
ya que esta suma es, en realidad, la probabilidad del suceso seguro.
-
experimento aleatorio, como la suma de los puntos obtenidos al lanzar dos dados, el
+
-
número de lanzamientos de un dado hasta que aparece el cuatro, el número de personas que
+
-
suben en un determinado ascensor al mes, el tiempo de espera en la sala de un doctor...
+
<br/>
<br/>
-
Las '''''variables aleatorias discretas''''' son aquellas que pueden tomar solamente un
+
===Ejemplo===
-
número finitio o un número infinito numerable de valores.
+
<br/>
<br/>
-
A este nivel, las unicas variables aleatorias que consideraremos son aquellas que toman
+
En el experimento de lanzar tres monedas al aire, la aplicación &nbsp;
-
un número finito de valores. Un ejemplo de este tipo de variable aleatoria seria el
+
<math>
-
resultado de lanzar un dado.
+
X
 +
</math>
 +
&nbsp; que asigna a cada resultado el numero de cruces obtenidas es una variable aleatoria. En este caso:
<br/>
<br/>
-
Las '''''variables aleatorias continuas''''' son aquellas que pueden tomar cualquier
+
<center>
-
valor en un intervalo de la recta real. Un ejemplo de este tipo de variable aleatoria
+
<math>
-
seria la altura de una persona.
+
\begin{array}[c]{cc}
 +
\mathrm{f} \left( \, 0 \, \right) \, = \, \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, X \, = \, 0 \,
 +
\right)
 +
\, = \, \frac{1}{8} \qquad
 +
&
 +
\mathrm{f}
 +
\left(
 +
\, 1 \,
 +
\right)
 +
\, = \, \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, X \, = \, 1 \,
 +
\right)
 +
\, = \, \frac{3}{8}
 +
\qquad
 +
\\
 +
&
 +
\\
 +
\mathrm{f} \left( \, 2 \, \right) \, = \, \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, X \, = \, 2 \,
 +
\right)
 +
\, = \, \frac{3}{8} \qquad
 +
&
 +
\mathrm{f} \left( \, 3 \, \right) \, = \, \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, X \, = \, 3 \,
 +
\right)
 +
\, = \, \frac{1}{8} \qquad
 +
\end{array}
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Observa que &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f} \left( \, 0 \, \right) \, + \, \mathrm{f} \left( \, 1 \, \right) \, + \,
 +
\mathrm{f} \left( \, 2 \, \right) \, + \, \mathrm{f} \left( \, 3 \, \right) \, = \, 1
 +
</math>
<br/>
<br/>
Línea 73: Línea 140:
<br/>
<br/>
-
Dada una variable aleatoria &nbsp;
+
Dada una variable aleatoria discreta &nbsp;
<math>
<math>
X
X
</math>
</math>
-
, su '''''función de distribución''''' es la aplicación que a cada valor &nbsp;
+
, su '''''función de distribución''''' es la aplicación que a cada valor de &nbsp;
<math>
<math>
-
x
+
x_i
</math>
</math>
&nbsp; de la variable le asigna la probabilidad de que ésta tome valores menores o
&nbsp; de la variable le asigna la probabilidad de que ésta tome valores menores o
iguales que &nbsp;
iguales que &nbsp;
<math>
<math>
-
x
+
x_i
</math>
</math>
, y la denotamos por:
, y la denotamos por:
Línea 92: Línea 159:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\mathrm{F} \left( \, x \, \right) \, = \, \mathrm{P}
+
\mathrm{F} \left( \, x_i \, \right) \, = \, \mathrm{P}
\left(
\left(
-
\, X \le x \,
+
\, X \le x_i \,
\right)
\right)
</math>
</math>
Línea 101: Línea 168:
<br/>
<br/>
-
Como la función de distribución es una probabilidad, &nbsp;
+
La función de distribución de cualquier variable aleatoria discreta tiene las siguentes
 +
caracteristicas:
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
1. Al ser una probabilidad, &nbsp;
<math>
<math>
-
1 \ge \mathrm{F} \left( \, x \, \right) \ge 0
+
1 \ge \mathrm{F} \left( \, x_i \, \right) \ge 0
</math>
</math>
.
.
Línea 109: Línea 181:
<br/>
<br/>
-
[[Category:Matemáticas]]
+
2. &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{F} \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; es nula para todo valor de &nbsp;
 +
<math>
 +
x
 +
</math>
 +
&nbsp; menor que el menor valor de la variable aleatoria, y es igual a la unidad para
 +
todo valor de &nbsp;
 +
<math>
 +
x
 +
</math>
 +
&nbsp; mayor que el mayor valor de la variable.
-
%% }}}
+
<br/>
 +
 
 +
3. &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{F} \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; es creciente.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
4. &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{F} \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; es constante en cada intervalo &nbsp;
 +
<math>
 +
\left(
 +
\, x_i, \, x_{i \, + \, 1} \,
 +
\right)
 +
</math>
 +
, además es continua a la derecha de &nbsp;
 +
<math>
 +
x_i
 +
</math>
 +
&nbsp; y a la izquierda &nbsp;
 +
<math>
 +
x_{i \, + \, 1}
 +
</math>
 +
, y discontinua a la izquierda de &nbsp;
 +
<math>
 +
x_i
 +
</math>
 +
&nbsp; y a la derecha de &nbsp;
 +
<math>
 +
x_{i+1}
 +
</math>
 +
, para &nbsp;
 +
<math>
 +
i \, = \, 1, \, \ldots, \, n \, - \, 1
 +
</math>
 +
&nbsp;
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
5. Sea &nbsp;
 +
<math>
 +
x_j > x_i
 +
</math>
 +
, entonces &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{F}
 +
\left(
 +
\, x_j \,
 +
\right)
 +
\, - \,
 +
\mathrm{F}
 +
\left(
 +
\, x_i \,
 +
\right)
 +
\, = \,
 +
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, x_j \ge X > x_i \,
 +
\right)
 +
</math>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
==Distribución binomial==
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes caracteristicas:
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso &nbsp;
 +
<math>
 +
A
 +
</math>
 +
, llamado ''exito'', y su contrario, &nbsp;
 +
<math>
 +
\bar{A}
 +
</math>
 +
, llamado ''fracaso''.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
2. El resultado de cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
3. La probabilidad de &nbsp;
 +
<math>
 +
A
 +
</math>
 +
, que denotamos por &nbsp;
 +
<math>
 +
p
 +
</math>
 +
, no varía de una prueba a otra.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
4. En cada experimento se realizan &nbsp;
 +
<math>
 +
n
 +
</math>
 +
&nbsp; pruebas idénticas.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Todo experimento aleatorio con estas características se dice que sigue el modelo de la
 +
distribución binomial.
 +
 
 +
A la variable &nbsp;
 +
<math>
 +
X
 +
</math>
 +
, que representa el número de éxitos obtenidos en el experimento, se le
 +
llama '''''variable aleatoria binomial'''''.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Existen varias maneras de obtener &nbsp;
 +
<math>
 +
r
 +
</math>
 +
&nbsp; exitos en las &nbsp;
 +
<math>
 +
n
 +
</math>
 +
&nbsp; pruebas. Supongamos que &nbsp;
 +
<math>
 +
n \, = \, 3
 +
</math>
 +
&nbsp; y calculemos la probabilidad del suceso &nbsp;
 +
<math>
 +
\left\{
 +
\, X \, = \, 2 \,
 +
\right\}
 +
</math>
 +
. &nbsp; Existen tres posibilidades de que ocurra &nbsp;
 +
<math>
 +
X \, = \, 2
 +
</math>
 +
:
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
1^\circ: & \bar{A}AA
 +
\\
 +
2^\circ: & A\bar{A}A
 +
\\
 +
3^\circ: & AA\bar{A}
 +
\end{array}
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
La diferencia entre estas tres posibilidades ( sucesos elementales ) es la prueba en que
 +
ocurre el fracaso. En el primer caso, el fracaso ocurre en la primera prueba; en el
 +
segundo caso ocurre en la segunda y en el tercer caso ocurre en la tercera.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Como estos sucesos son incompatibles, se tiene que:
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, X \, = \, 2 \,
 +
\right)
 +
\, = \, \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, \bar{A}AA \,
 +
\right)
 +
\, + \, \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, A\bar{A}A \,
 +
\right)
 +
\, + \, \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, AA\bar{A} \,
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Por otra parte, &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, \bar{A}AA \,
 +
\right)
 +
\, = \, \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, A\bar{A}A \,
 +
\right)
 +
\, = \, \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, AA\bar{A} \,
 +
\right)
 +
\, = \, p^2 \cdot
 +
\left(
 +
\, 1 \, - \, p \,
 +
\right)
 +
</math>
 +
. Por ejemplo:
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, AA\bar{A}
 +
\right)
 +
\, = \, \mathrm{P} \left( \, A \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, A \, \right)
 +
\cdot \mathrm{P} \left( \, \bar{A} \, \right) \, = \, p \cdot p \cdot \left( \, 1 \, - \,
 +
p \, \right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
donde la primera igualdad es cierta por que los resultados de las tres pruebas son
 +
independientes.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Así
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, X \, = \, 2 \,
 +
\right)
 +
\, = \, 3 \cdot p^2 \cdot
 +
\left(
 +
\, 1 \, - \, p \,
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
En general:
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, X \, = \, r \,
 +
\right)
 +
\, = \,
 +
\left(
 +
\, { n \atop r }
 +
\right)
 +
\cdot p^r \cdot
 +
\left(
 +
\, 1 \, - \, p \,
 +
\right)
 +
^
 +
\left(
 +
\, n \, - \, r \,
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
donde
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\, { n \atop r }
 +
\right)
 +
\, = \, \frac{n!}{r!\left( \, n \, - \, r \, \right)!}
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
&nbsp; es el número de sucesos elementales que componen el suceso &nbsp;
 +
<math>
 +
\left\{
 +
\, X \, = \, r \,
 +
\right\}
 +
</math>
 +
&nbsp; ( estos sucesos elementales tienen en comun un mismo número de exitos y de
 +
fracasos y solo se diferencian en el orden en que ocurren los exitos y los fracasos ).
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<math>
 +
n!
 +
</math>
 +
&nbsp; es el factorial de &nbsp;
 +
<math>
 +
n
 +
</math>
 +
, &nbsp;
 +
<math>
 +
n! \, = \, n \cdot \left( \,n \, - \, 1 \, \right) \cdot \ldots 2 \cdot 1
 +
</math>
 +
&nbsp;
 +
<math>
 +
p^r \cdot
 +
\left(
 +
\, 1 \, - \, p \,
 +
\right)
 +
^
 +
\left(
 +
\, n \, - \, r \,
 +
\right)
 +
</math>
 +
&nbsp; es la probabilidad de cada uno de estos sucesos elementales.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Al ser la variable aleatoria binomial una variable aleatoria discreta, tiene asociadas
 +
una función de probabilidad y una función de distribución.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
[[Category:Matemáticas]]

Revisión de 01:45 27 dic 2006

Tabla de contenidos


Función de probabilidad


Denotaremos como   \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, X \, = \, x_i \, </pre> <p>\right)   a la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor   x_i .


Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta   X a la aplicacion que a cada valor de   x_i   de la variable le hace corresponder la probabilidad de que la variable tome dicho valor:


\mathrm{f} \left( </p> <pre> \, x_i \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, X \, = \, x_i \, \right) </pre> <p>


Por definición, deducimos que si   \left\{ </p> <pre> \, x_1, \, x_2, \ldots, \, x_n \, </pre> <p>\right\}   son los valores que puede tomar la variable   X , entonces:


\sum_{i \, = \, 1}^n \mathrm{f} \left( \, x_i \, \right) \, = \, \mathrm{f} \left( \, </p> <pre> x_1 \, \right) \, + \, \mathrm{f} \left( \, x_2 \, \right) \, + \, </pre> <p>\ldots \, + \, \mathrm{f} \left( \, x_n \, \right) \, = \, 1


ya que esta suma es, en realidad, la probabilidad del suceso seguro.


Ejemplo


En el experimento de lanzar tres monedas al aire, la aplicación   X   que asigna a cada resultado el numero de cruces obtenidas es una variable aleatoria. En este caso:


\begin{array}[c]{cc} \mathrm{f} \left( \, 0 \, \right) \, = \, \mathrm{P} </p> <pre>\left( \, X \, = \, 0 \, \right) \, = \, \frac{1}{8} \qquad & \mathrm{f} \left( \, 1 \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, X \, = \, 1 \, \right) \, = \, \frac{3}{8} \qquad \\ & \\ \mathrm{f} \left( \, 2 \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, X \, = \, 2 \, \right) \, = \, \frac{3}{8} \qquad & \mathrm{f} \left( \, 3 \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, X \, = \, 3 \, \right) \, = \, \frac{1}{8} \qquad </pre> <p>\end{array}


Observa que   \mathrm{f} \left( \, 0 \, \right) \, + \, \mathrm{f} \left( \, 1 \, \right) \, + \, \mathrm{f} \left( \, 2 \, \right) \, + \, \mathrm{f} \left( \, 3 \, \right) \, = \, 1


Función de distribución


Dada una variable aleatoria discreta   X , su función de distribución es la aplicación que a cada valor de   x_i   de la variable le asigna la probabilidad de que ésta tome valores menores o iguales que   x_i , y la denotamos por:


\mathrm{F} \left( \, x_i \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, X \le x_i \, </pre> <p>\right)


La función de distribución de cualquier variable aleatoria discreta tiene las siguentes caracteristicas:


1. Al ser una probabilidad,   1 \ge \mathrm{F} \left( \, x_i \, \right) \ge 0 .


2.   \mathrm{F} \left( \, x \, \right)   es nula para todo valor de   x   menor que el menor valor de la variable aleatoria, y es igual a la unidad para todo valor de   x   mayor que el mayor valor de la variable.


3.   \mathrm{F} \left( \, x \, \right)   es creciente.


4.   \mathrm{F} \left( \, x \, \right)   es constante en cada intervalo   \left( </p> <pre> \, x_i, \, x_{i \, + \, 1} \, </pre> <p>\right) , además es continua a la derecha de   x_i   y a la izquierda   x_{i \, + \, 1} , y discontinua a la izquierda de   x_i   y a la derecha de   x_{i+1} , para   i \, = \, 1, \, \ldots, \, n \, - \, 1  


5. Sea   x_j > x_i , entonces   \mathrm{F} \left( </p> <pre> \, x_j \, \right) \, - \, \mathrm{F} </pre> <p>\left( </p> <pre> \, x_i \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, x_j \ge X > x_i \, \right) </pre> <p>


Distribución binomial


Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes caracteristicas:


1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso   A , llamado exito, y su contrario,   \bar{A} , llamado fracaso.


2. El resultado de cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.


3. La probabilidad de   A , que denotamos por   p , no varía de una prueba a otra.


4. En cada experimento se realizan   n   pruebas idénticas.


Todo experimento aleatorio con estas características se dice que sigue el modelo de la distribución binomial.

A la variable   X , que representa el número de éxitos obtenidos en el experimento, se le llama variable aleatoria binomial.


Existen varias maneras de obtener   r   exitos en las   n   pruebas. Supongamos que   n \, = \, 3   y calculemos la probabilidad del suceso   \left\{ </p> <pre> \, X \, = \, 2 \, </pre> <p>\right\} .   Existen tres posibilidades de que ocurra   X \, = \, 2


\begin{array}[c]{cc} </p> <pre> 1^\circ: & \bar{A}AA \\ 2^\circ: & A\bar{A}A \\ 3^\circ: & AA\bar{A} </pre> <p>\end{array}


La diferencia entre estas tres posibilidades ( sucesos elementales ) es la prueba en que ocurre el fracaso. En el primer caso, el fracaso ocurre en la primera prueba; en el segundo caso ocurre en la segunda y en el tercer caso ocurre en la tercera.


Como estos sucesos son incompatibles, se tiene que:


\mathrm{P} \left( </p> <pre> \, X \, = \, 2 \, </pre> <p>\right) \, = \, \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, \bar{A}AA \, \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, A\bar{A}A \, \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, AA\bar{A} \, \right) </pre> <p>


Por otra parte,   \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, \bar{A}AA \, </pre> <p>\right) \, = \, \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, A\bar{A}A \, </pre> <p>\right) \, = \, \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, AA\bar{A} \, </pre> <p>\right) </p> <pre>\, = \, p^2 \cdot </pre> <p>\left( </p> <pre> \, 1 \, - \, p \, </pre> <p>\right) . Por ejemplo:


\mathrm{P} \left( </p> <pre> \, AA\bar{A} </pre> <p>\right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, A \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, A \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, \bar{A} \, \right) \, = \, p \cdot p \cdot \left( \, 1 \, - \, </p> <pre> p \, \right) </pre> <p>


donde la primera igualdad es cierta por que los resultados de las tres pruebas son independientes.


Así


\mathrm{P} \left( </p> <pre> \, X \, = \, 2 \, </pre> <p>\right) \, = \, 3 \cdot p^2 \cdot \left( </p> <pre> \, 1 \, - \, p \, </pre> <p>\right)


En general:


\mathrm{P} \left( </p> <pre> \, X \, = \, r \, </pre> <p>\right) \, = \, \left( </p> <pre> \, { n \atop r } </pre> <p>\right) \cdot p^r \cdot \left( </p> <pre> \, 1 \, - \, p \, </pre> <p>\right) ^ \left( </p> <pre> \, n \, - \, r \, </pre> <p>\right)


donde


\left( </p> <pre> \, { n \atop r } </pre> <p>\right) \, = \, \frac{n!}{r!\left( \, n \, - \, r \, \right)!}


  es el número de sucesos elementales que componen el suceso   \left\{ </p> <pre> \, X \, = \, r \, </pre> <p>\right\}   ( estos sucesos elementales tienen en comun un mismo número de exitos y de fracasos y solo se diferencian en el orden en que ocurren los exitos y los fracasos ).


n!   es el factorial de   n ,   n! \, = \, n \cdot \left( \,n \, - \, 1 \, \right) \cdot \ldots 2 \cdot 1   p^r \cdot \left( </p> <pre> \, 1 \, - \, p \, </pre> <p>\right) ^ \left( </p> <pre> \, n \, - \, r \, </pre> <p>\right)   es la probabilidad de cada uno de estos sucesos elementales.


Al ser la variable aleatoria binomial una variable aleatoria discreta, tiene asociadas una función de probabilidad y una función de distribución.


Obtenido de "http://wikillerato.org/Distribuciones_discretas.html"
   
 
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