Distribuciones discretas
De Wikillerato
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Revisión de 09:53 27 dic 2006
Tabla de contenidos |
Función de probabilidad
Denotaremos como a la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor .
Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta a la aplicacion que a cada valor de de la variable le hace corresponder la probabilidad de que la variable tome dicho valor:
Por definición, deducimos que si son los valores que puede tomar la variable , entonces:
ya que esta suma es, en realidad, la probabilidad del suceso seguro.
Ejemplo
En el experimento de lanzar tres monedas al aire, la aplicación que asigna a cada resultado el numero de cruces obtenidas es una variable aleatoria. En este caso:
Observa que
Función de distribución
Dada una variable aleatoria discreta , su función de distribución es la aplicación que a cada valor de de la variable le asigna la probabilidad de que ésta tome valores menores o iguales que , y la denotamos por:
La función de distribución de cualquier variable aleatoria discreta tiene las siguentes caracteristicas:
1. Al ser una probabilidad, .
2. es nula para todo valor de menor que el menor valor de la variable aleatoria, y es igual a la unidad para todo valor de mayor que el mayor valor de la variable.
3. es creciente.
4. es constante en cada intervalo , además es continua a la derecha de y a la izquierda , y discontinua a la izquierda de y a la derecha de , para
5. Sea , entonces
Distribución binomial
Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes caracteristicas:
1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso , llamado exito, y su contrario, , llamado fracaso.
2. El resultado de cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.
3. La probabilidad de , que denotamos por , no varía de una prueba a otra.
4. En cada experimento se realizan pruebas idénticas.
Todo experimento aleatorio con estas características se dice que sigue el modelo de la distribución binomial.
A la variable , que representa el número de éxitos obtenidos en el experimento, se le llama variable aleatoria binomial.
Existen varias maneras de obtener exitos en las pruebas. Supongamos que lanzamos una moneda veces y calculemos la probabilidad del suceso "obtener 2 caras": . ( Aqui el exito es que salga cara ). Existen tres posibilidades de que ocurra
La diferencia entre estas tres posibilidades ( sucesos elementales ) es la prueba en que ocurre el fracaso. En el primer caso, el fracaso ocurre en la primera prueba; en el segundo caso ocurre en la segunda y en el tercer caso ocurre en la tercera.
Como estos sucesos son incompatibles, se tiene que:
Por otra parte, . Por ejemplo:
donde la primera igualdad es cierta porque los resultados de las tres pruebas son independientes.
Así
En general:
donde
es el número de sucesos elementales que componen el suceso ( estos sucesos elementales tienen en comun un mismo número de exitos y de fracasos y solo se diferencian en el orden en que ocurren los exitos y los fracasos ).
es la probabilidad de cada uno de estos sucesos elementales.
Al ser la variable aleatoria binomial una variable aleatoria discreta, tiene asociadas una función de probabilidad y una función de distribución.
NOTA: es el factorial de ,