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Matriz inversa

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
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(32 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 1: Línea 1:
 +
__TOC__
-
==Introducción==
+
==Definición==
<br/>
<br/>
-
Resolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar todas sus soluciones.
+
La matriz inversa de una [[¿Qué es una matriz?#Matrices cuadradas|matriz cuadrada]] &nbsp;
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Los métodos de [[Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales#Método de igualación|igualación]], [[Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales#Método de sustitución|sustitución]] y [[Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales#Método de reducción|reducción]] consisten en
+
-
encontrar y resolver, para cada una de las incognitas, una ecuación con esa
+
-
incognita y con ninguna otra ( convirtiendo así un problema dificil en uno mas
+
-
facil, ¿no?).
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
A estas ecuaciones, con solo una incognita, se llega a traves de una serie de
+
-
pasos en los que las ecuaciones intermedias que se van obteniendo tienen menos
+
-
incognitas que las ecuaciones previas.
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Así, es posible que en uno de estos pasos de eliminación de incognitas se utilize
+
-
un método ( el de reducción, por ejemplo ) y que, en el siguiente paso, se
+
-
utilize otro método ( el de igualación, por ejemplo ).
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Cada vez que se encuentra la solución para una incognita, se sustituye esta
+
-
incognita por su solución para obtener asi ecuaciones con menos incognitas.
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Los métodos de igualación, sustitución, reducción y Gauss se pueden utilizar
+
-
para resolver [[Definición y tipos#Sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados|sistemas de ecuaciones compatibles determinados]] e
+
-
[[Definición y tipos#Sistemas de ecuaciones lineales compatibles indeterminados|indeterminados]].
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Estos mismos métodos tambien pueden utilizarse para comprobar si un sistema de
+
-
ecuaciones es compatible o no. La utilizacion de cualquiera de ellos
+
-
conduciria, en el caso de que el sistema fuese incompatible, a una igualdad que
+
-
es falsa, por ejemplo:
+
-
<center>
+
<math>
<math>
-
2 = 3
+
\mathbf{A}
</math>
</math>
-
</center>
+
&nbsp; de orden &nbsp;
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
El [[Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales#Método de la matriz inversa|método de la matriz inversa]] y la [[Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales#Regla de Cramer|regla de Cramer]] solo se pueden utilizar en
+
-
el caso de que el sistema de ecuaciones lineales sea compatible determinado.
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
==Método de reducción==
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Consiste en multiplicar ecuaciones por numeros y sumarlas para reducir el número
+
-
de incognitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incognita.
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de
+
-
la ecuación por dicho número.
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho
+
-
( izquierdo ) es la suma de los miembros derechos ( izquierdos ) de las
+
-
ecuaciones que se suman.
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
===Ejemplo===
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
<math>
<math>
-
\left\{
+
n,
-
\begin{array}{l}
+
-
5x - 3y = 2
+
-
\\
+
-
3x - 4y = -1
+
-
\end{array}
+
-
\right.
+
</math>
</math>
-
</center>
+
&nbsp; es la matriz cuadrada &nbsp;
-
 
+
-
Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones
+
-
<center>
+
<math>
<math>
-
\left\{
+
\mathbf{A}^{-1}
-
\begin{array}{l}
+
-
15x - 9y = 6
+
-
\\
+
-
-15x + 20y = 5
+
-
\end{array}
+
-
\right.
+
</math>
</math>
-
</center>
+
&nbsp; tambien de orden &nbsp;
-
 
+
-
El sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
11y = 11
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
que es una ecuación con una sola incognita y cuya solución es
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
y = 1
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la
+
<math>
<math>
-
x
+
n
</math>
</math>
-
desaparezca al sumar ambas ecuaciones.
+
&nbsp; que verifica:
<br/>
<br/>
-
Sutituyendo <math> y </math> por uno en la primera ecuación del sistema de
 
-
ecuaciones de partida, se obtiene
 
<center>
<center>
<math>
<math>
-
5x - 3 = 2
+
\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{A} = I
</math>
</math>
</center>
</center>
-
que es otra ecuación con una sola incognita y cuya solución es &nbsp;
 
-
<math>
 
-
x = 1
 
-
</math>.
 
<br/>
<br/>
-
==Método de igualación==
+
donde &nbsp;
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
El método de igualación consiste en lo siguiente:
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Supongamos que tenemos dos ecuaciones:
+
-
<center>
+
<math>
<math>
-
\left\{
+
\mathbf{I}
-
\begin{array}{l}
+
-
a = b
+
-
\\
+
-
a = c
+
-
\item \end{array}
+
-
\right.
+
</math>
</math>
-
</center>
+
&nbsp; es la
-
donde
+
[[¿Qué es una matriz?#Matrices unidad o identidad|matriz identidad]] de orden &nbsp;
<math>
<math>
-
a
+
n
-
</math>,
+
-
<math>
+
-
b
+
-
</math>,
+
-
y
+
-
<math>
+
-
c
+
</math>
</math>
-
representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones
+
.
-
algebraicas ).
+
<br/>
<br/>
-
De las dos igualdades anteriores se deduce que
+
==Existencia de la matriz inversa==
-
<center>
+
-
<math>
+
-
b = c
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
Si resulta que una incognita del sistema de ecuaciones no aparece ni en
+
-
<math>
+
-
a
+
-
</math>
+
-
ni en
+
-
<math>
+
-
b
+
-
</math>,
+
-
entonces la ecuación
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
b = c
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
no contendría dicha incognita.
+
<br/>
<br/>
-
Este proceso de eliminación de incognitas se puede repetir varias veces hasta
+
Las matrices que tienen inversa se llaman '''''regulares''''' y las que NO
-
llegar a una ecuación con solo una incognita, digamos
+
tienen inversa, '''''singulares'''''.
-
<math>
+
-
x
+
-
</math>
+
-
.
+
<br/>
<br/>
-
Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye
+
Una matriz cuadrada de orden n es regular si, y solo si, su [[Rango de una matriz|rango]] es n.
-
<math>
+
-
x
+
-
</math>
+
-
por su solución en otras ecuaciones dode aparezca
+
-
<math>
+
-
x
+
-
</math>
+
-
para reducir el número de incognitas en dichas ecuaciones.
+
<br/>
<br/>
-
===Ejemplo===
+
Una matriz cuadrada de orden n es singular si, y solo si, su [[Definición de determinante|determinante]] es cero.
<br/>
<br/>
-
El sistema de ecuaciones
+
==Propiedades==
-
<center>
+
-
<math>
+
-
\left\{
+
-
\begin{array}{l}
+
-
2x - 3y = -1
+
-
\\
+
-
2x + 4y = 6
+
-
\end{array}
+
-
\right.
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
es equivalente a este otro
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
\left\{
+
-
\begin{array}{l}
+
-
2x = -1 + 3y
+
-
\\
+
-
2x = 6 -4y
+
-
\end{array}
+
-
\right.
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
El segundo sistema lo he obtenido pasando los terminos en
+
-
<math>
+
-
y
+
-
</math>
+
-
del miembro de la izquierda al miembro de la derecha en cada una de las
+
-
ecuaciones del primer sistema.
+
<br/>
<br/>
-
Del segundo sistema se deduce que
+
Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa son las siguientes:
-
<center>
+
-
<math>
+
-
-1 + 3y = 6 - 4y
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
que es una ecuación con una sola incognita cuya solución es &nbsp;
+
-
<math>
+
-
y = 1
+
-
</math>.
+
<br/>
<br/>
-
Sustituyendo
+
1. &nbsp; Si existe,
-
<math>
+
&nbsp; <math>
-
y
+
\mathbf{A}^{-1}
</math>
</math>
-
por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que
+
&nbsp; es única.
-
<center>
+
-
<math>
+
-
2x - 3 = -1
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
que es una ecuación con una sola incognita y cuya solución es &nbsp;
+
-
<math>
+
-
x = 1
+
-
</math>.
+
<br/>
<br/>
-
==Método de sustitución==
+
2. &nbsp;
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma
+
-
<center>
+
<math>
<math>
-
\left\{
+
\left(
-
\begin{array}{l}
+
\mathbf{A}^{-1}
-
a \cdot b + c = d
+
\right)
-
\\
+
^{-1} = \mathbf{A}
-
a + e = f
+
-
\end{array}
+
-
\right.
+
</math>
</math>
-
</center>
 
-
Entonces podemos despejar
 
-
<math>
 
-
a
 
-
</math>
 
-
en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener la ecuación:
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\left( \, f - e \, \right) \cdot b + c = d
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incognitas que las de
 
-
partida.
 
<br/>
<br/>
-
Aqui &nbsp;
+
3. &nbsp;
<math>
<math>
-
a, \, b, \, c, \, d, \, e
+
\left(
 +
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}
 +
\right)
 +
^{-1} = \mathbf{B}^{-1} \cdot \mathbf{A}^{-1}
</math>
</math>
-
&nbsp; y &nbsp;
 
-
<math>
 
-
f
 
-
</math>
 
-
&nbsp; son expresiones algebraicas de las incognitas del sistema.
 
<br/>
<br/>
-
===Ejemplo===
+
4. El determinante de una matriz regular
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Intentemos resolver
+
-
<center>
+
<math>
<math>
-
\left\{
+
\mathbf{A}
-
\begin{array}{l}
+
-
4x + 3y = 7
+
-
\\
+
-
2x - y = 1
+
-
\end{array}
+
-
\right.
+
</math>
</math>
-
</center>
+
es el inverso del determinante de su matriz inversa:
-
La primera ecuación se puede reescribir de la forma
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
2 \cdot \left( \, 2x \, \right) + 3y = 7
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
2x = 1 + y
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
Sustituyendo &nbsp;
+
-
<math>
+
-
2x
+
-
</math>
+
-
&nbsp; por
+
-
<math>
+
-
1 + y
+
-
</math>
+
-
en
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
2 \cdot \left( \, 2x \, \right) + 3y = 7
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
se tiene que
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
2 \cdot \left( \, 1 + y \, \right)+ 3y = 7
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
que es una ecuación con solo una incognita y cuya solución es
+
-
<math>
+
-
y = 1
+
-
</math>.
+
<br/>
<br/>
-
Sustituyendo
 
-
<math>
 
-
y
 
-
</math>
 
-
por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida obtenemos
 
-
una ecuación de una sola incognita
 
<center>
<center>
<math>
<math>
-
4 + 3y = 7
+
\left| \mathbf{A}^{-1} \right| = \frac{1}{\left| \mathbf{A} \right|}
</math>
</math>
</center>
</center>
-
cuya solución es &nbsp;
 
-
<math>
 
-
x = 1
 
-
</math>.
 
<br/>
<br/>
-
==Método de Gauss==
+
==Cálculo de la matriz inversa==
<br/>
<br/>
-
[[Imagen:gauss.jpg|frame|Gauss es uno de los matematicos mas
+
La matriz inversa de una matriz regular se puede calcular de diferentes maneras:
-
importantes de todos los tiempos. ¡Fue un GENIO!]]
+
<br/>
<br/>
-
El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente.
+
===Resolviendo un sistema de ecuaciones lineales===
-
Para ello tomamos la [[Definición y tipos#Definición|matriz ampliada]] del
+
-
sistema y mediante las [[Matriz inversa#Operaciones elementales con las filas de una matriz|operaciones elementales]]
+
-
por filas la transformamos en una [[¿Qué es una matriz?#Matrices triangulares superiores|matriz triangular superior]] ( o
+
-
[[¿Qué es una matriz?#Matrices triangulares inferiores|inferior]] ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy facil
+
-
de resolver.
+
<br/>
<br/>
-
Es esencialmente el [[Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales#método de reducción|método de reducción]]. En el método de Gauss se
+
====Ejemplo====
-
opera con ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra
+
-
el escribir las incognitas porque al ir los coeficientes de una misma incognita
+
-
siempre en una misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incognita a la
+
-
que multiplican.
+
<br/>
<br/>
-
===Ejemplo===
+
<center>
 +
<math>
 +
\mathbf{A} =
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
1 & 2
 +
\\
 +
3 & 7
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
<br/>
<br/>
-
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
+
hacemos
<br/>
<br/>
Línea 438: Línea 152:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\left\{
+
\mathbf{A}^{-1} =
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
\left(
-
x \, + \, y \, + \, z & = & ~~3
+
\begin{array}[c]{cc}
-
\\
+
a & b
-
x \, + \, y \, - \, z & = & ~~1
+
\\
-
\\
+
c & d
-
x \, - \, y \, - \, z & = & -1
+
\end{array}
-
\end{array}
+
\right)
-
\right.
+
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 452: Línea 165:
<br/>
<br/>
-
es:
+
como
<br/>
<br/>
Línea 458: Línea 171:
<center>
<center>
<math>
<math>
 +
I = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} \Rightarrow
\left(
\left(
-
\left.
+
\begin{array}[c]{cc}
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
1 & 2
-
~~1 & ~~1 & ~~1
+
\\
-
\\
+
3 & 7
-
~~1 & ~~1 & -1
+
\end{array}
-
\\
+
\right)
-
~~1 & -1 & -1
+
\cdot
-
\end{array}
+
\left(
-
\right|
+
\begin{array}[c]{cc}
-
\begin{array}[c]{c}
+
a & b
-
~~3
+
\\
-
\\
+
c & d
-
~~1
+
\end{array}
-
\\
+
\right)
-
-1
+
=
-
\end{array}
+
\left(
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
1 & 0
 +
\\
 +
0 & 1
 +
\end{array}
\right)
\right)
</math>
</math>
Línea 481: Línea 200:
<br/>
<br/>
-
Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:
+
Operando:
<br/>
<br/>
Línea 488: Línea 207:
<math>
<math>
\left(
\left(
-
\left.
+
\begin{array}[c]{cc}
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
a + 2c & b + 2d
-
~~1 & ~~1 & ~~1
+
\\
-
\\
+
3a + 7c & 3b + 7d
-
~~0 & ~~0 & -2
+
\end{array}
-
\\
+
-
~~0 & -2 & -2
+
-
\end{array}
+
-
\right|
+
-
\begin{array}[c]{c}
+
-
~~3
+
-
\\
+
-
-2
+
-
\\
+
-
-4
+
-
\end{array}
+
\right)
\right)
 +
=
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
1 & 0
 +
\\
 +
0 & 1
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
\Leftrightarrow
 +
\left\{
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
a + 2c & = & 1
 +
\\
 +
3a + 7c & = & 0
 +
\\
 +
b + 2d & = & 0
 +
\\
 +
3b + 7d & = & 1
 +
\\
 +
\end{array}
 +
\right.
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 510: Línea 239:
<br/>
<br/>
-
Lo que acabamos de hacer es equivalente a restar a la tercera y segunda
+
<center>
-
ecuación la primera.
+
<math>
 +
\Rightarrow \left\{
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
a & = & 7
 +
\\
 +
b & = & -2
 +
\\
 +
c & = & -3
 +
\\
 +
d & = & 1
 +
\\
 +
\end{array}
 +
\right.
 +
</math>
 +
</center>
<br/>
<br/>
-
Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas ( ecuaciones ), obtenemos
+
===Por el método de Gauss===
<br/>
<br/>
-
<center>
+
La inversa de una matriz regular &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathbf{A}
 +
</math>
 +
&nbsp; se puede calcular transformando la matriz &nbsp;
<math>
<math>
\left(
\left(
-
\left.
+
\, \mathbf{A} \, \left| \, \mathbf{I} \, \right.
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
\right)
-
~~1 & ~~1 & ~~1
+
</math>
-
\\
+
&nbsp; mediante operaciones elementales con las filas de la matriz &nbsp;
-
~~0 & -2 & -2
+
<math>
-
\\
+
\left(
-
~~0 & ~~0 & -2
+
\, \mathbf{I} \, \left| \, \mathbf{A}^{-1} \, \right.
-
\end{array}
+
-
\right|
+
-
\begin{array}[c]{c}
+
-
~~3
+
-
\\
+
-
-4
+
-
\\
+
-
-2
+
-
\end{array}
+
\right)
\right)
</math>
</math>
-
</center>
 
<br/>
<br/>
-
que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
+
====Operaciones elementales con las filas de una matriz====
<br/>
<br/>
-
<center>
+
Las operaciones elementales con las filas de una matriz que podemos realizar en
-
<math>
+
el metodo de Gauss son las siguientes:
-
\left\{
+
-
\begin{array}[c]{rcl}
+
-
x \, + \, y \, + \, z & = & ~~3
+
-
\\
+
-
-2y \, - \, 2z & = & -4
+
-
\\
+
-
-2z & = & -2
+
-
\end{array}
+
-
\right.
+
-
</math>
+
-
</center>
+
<br/>
<br/>
-
que es equivalente al inicial.
+
1. Intercambiar las filas &nbsp;
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Solucionamos la tercera ocuacion para obtener &nbsp;
+
<math>
<math>
-
z
+
F_i
</math>
</math>
-
&nbsp;:
+
&nbsp; y &nbsp;
 +
<math>
 +
F_j
 +
</math>.
 +
&nbsp; Esta operación la representaremos así
<br/>
<br/>
Línea 578: Línea 304:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
z \, = \, 1
+
F_i \longleftrightarrow F_j
</math>
</math>
</center>
</center>
<br/>
<br/>
-
En la primera y segunda ecuación, sustituimos &nbsp;
+
 
 +
2. Multiplicar la fila &nbsp;
<math>
<math>
-
z
+
F_i
</math>
</math>
-
&nbsp; por la solucion de la tercera ecuación &nbsp; ( &nbsp;
+
&nbsp; por el número &nbsp;
<math>
<math>
-
1 \to z
+
s \neq 0
</math>
</math>
-
&nbsp; ), para obtener:
+
&nbsp; y sustituir &nbsp;
 +
<math>
 +
F_i
 +
</math>
 +
&nbsp; por &nbsp;
 +
<math>
 +
s \cdot F_i
 +
</math>.
 +
&nbsp; Esta operación la representamos de la
 +
siguiente forma:
<br/>
<br/>
Línea 597: Línea 333:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\left\{
+
s \cdot F_i \longrightarrow F_i
-
\begin{array}[c]{rcl}
+
-
x \, + \, y \, + \, 1 & = & ~~3
+
-
\\
+
-
-2y \, - \, 2 & = & -4
+
-
\end{array}
+
-
\right.
+
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 609: Línea 339:
<br/>
<br/>
-
La segunda ecuación es ahora una ecuación con una sola incognita, &nbsp;
+
3. Sumar las filas &nbsp;
<math>
<math>
-
y
+
F_i
</math>
</math>
-
, que resolvemos para obtener &nbsp;
+
&nbsp; y &nbsp;
 +
<math>
 +
F_j
 +
</math>,
 +
&nbsp; multiplicadas por sendos números,
<math>
<math>
-
y \, = \, 1
+
s
</math>
</math>
-
. &nbsp; Sustituimos, en la primera ecuación, &nbsp;
 
-
<math>
 
y
y
-
</math>
 
-
&nbsp; por 1 &nbsp; ( &nbsp;
 
<math>
<math>
-
1 \to y
+
t
-
</math>
+
</math>,
-
&nbsp; ). Esto nos da una ecuación en &nbsp;
+
y sustituir &nbsp;
<math>
<math>
-
x
+
F_i
</math>
</math>
-
&nbsp;:
+
&nbsp; por el resultado de esta suma. Lo representamos así:
<br/>
<br/>
Línea 635: Línea 365:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
x \, + \, 1 \, + \, 1 \, = \, 3
+
s \cdot F_i + t \cdot F_j \longrightarrow F_i
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 641: Línea 371:
<br/>
<br/>
-
que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones inicial:
+
Notese que el segundo tipo de operación, &nbsp;
 +
<math>
 +
s \cdot F_i \longrightarrow F_i
 +
</math>,
 +
&nbsp;
 +
es un caso particular de esta última propiedad que se tiene cuando &nbsp;
 +
<math>
 +
t = 0
 +
</math>.
<br/>
<br/>
-
<center>
+
===Mediante la matriz adjunta===
-
<math>
+
-
x \, = \, y \, = \, z \, = \, 1
+
-
</math>
+
-
</center>
+
<br/>
<br/>
-
==Método de la matriz inversa==
+
La matriz inversa de una matriz regular &nbsp;
-
 
+
<math>
-
Un sistema de ecuaciones lineales se puede escribir en [[Definición y tipos#Definición|forma matricial]]:
+
\mathbf{A}
 +
</math>
 +
&nbsp; se puede calcular mediante la expresión:
<br/>
<br/>
<center>
<center>
-
<math>
+
<math>
-
\mathbf{A} \cdot \mathbf{X} \, = \, \mathbf{B}
+
\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\left| \mathbf{A} \right|} \cdot
-
</math>
+
\left[
-
</center>
+
\makebox{Adj}
 +
\left(
 +
\, \mathbf{A} \,
 +
\right)
 +
\right]
 +
^t
 +
</math>
 +
</center>
<br/>
<br/>
-
Si &nbsp;
+
donde &nbsp;
<math>
<math>
-
\mathbf{A}^{-1}
+
\makebox{Adj}
 +
\left(
 +
\, \mathbf{A} \,
 +
\right)
</math>
</math>
-
&nbsp; existe, es decir, si &nbsp;
+
&nbsp; es la [[Matriz inversa#Mediante la matriz adjunta| matriz adjunta]] de &nbsp;
<math>
<math>
\mathbf{A}
\mathbf{A}
-
</math>
+
</math>.
-
&nbsp; es una matriz cuadrada de determinante no nulo, entonces podemos multiplicar toda
+
-
la igualdad anterior por la izquierda por &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\mathbf{A}^{-1}
+
-
</math>
+
-
, para obtener:
+
<br/>
<br/>
-
<center>
+
====Definición de matriz adjunta====
-
<math>
+
-
\mathbf{X} \, = \, \mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{B}
+
-
</math>
+
-
</center>
+
<br/>
<br/>
-
que es la solución del sistema de ecuaciones lineales de matriz de coeficientes &nbsp;
+
La matriz cuyos elementos son los correspondientes [[Desarrollo de un determinante#Menores complementarios y adjuntos|adjuntos]] de los elementos de una matriz cuadrada
 +
&nbsp;
<math>
<math>
\mathbf{A}
\mathbf{A}
</math>
</math>
-
&nbsp; y matriz de terminos independientes &nbsp;
+
&nbsp; se llama '''''matriz adjunta''''' de &nbsp;
<math>
<math>
-
\mathbf{B}
+
\mathbf{A}
</math>
</math>
-
.
+
&nbsp; y se denota por &nbsp;
-
 
+
<math>
-
<br/>
+
\makebox{Adj} \left( \mathbf{A} \right)
-
 
+
</math>.
-
==Regla de Cramer==
+
&nbsp; El elemento en la i-esima fila y j-esima columna de la matriz adjunta de
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
[[Imagen:cramer2.gif|frame|Gabriel Cramer nacio Ginebra ( Suiza ) 1704 y murio en 1752. A
+
-
él le debemos la regla que lleva su nombre. ¡Gracias Gabriel por tu contribución a las Matemáticas!]]
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Esta regla es un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales que se puede
+
-
utilizar cuando la matriz &nbsp;
+
<math>
<math>
\mathbf{A}
\mathbf{A}
</math>
</math>
-
&nbsp; de coeficientes del sistema es cuadrada y de determinante no nulo. El que &nbsp;
+
es &nbsp;
 +
<math>
 +
A_{ij}
 +
</math>,
 +
&nbsp; el adjunto del elemento de
<math>
<math>
\mathbf{A}
\mathbf{A}
</math>
</math>
-
&nbsp; sea cuadrada significa que el numero de incognitas y el numero de ecuaciones
+
en su fila i-esima y columna j-esima
-
coincide.
+
<math>
 +
\left( \, a_{ij} \, \right)}
 +
</math>.
<br/>
<br/>
-
Cuando el sistema de ecuaciones
+
====Ejemplo====
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Los [[Desarrollo de un determinante#Menores complementarios y adjuntos|menores
 +
complementarios]] de los elementos de la matriz
<br/>
<br/>
Línea 733: Línea 471:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\left.
+
\mathbf{A} =
-
\begin{array}{c}
+
\left(
-
a_{11} \cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + \ldots a_{1n} \cdot x_n = b_1
+
\begin{array}{ccc}
 +
1 & 2 & 3
\\
\\
-
a_{21} \cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 + \ldots a_{2n} \cdot x_n = b_2
+
4 & 5 & 6
\\
\\
-
\dotfill
+
7 & 8 & 0
-
\\
+
-
a_{m1} \cdot x_1 + a_{m2} \cdot x_2 + \ldots a_{mn} \cdot x_n = b_m
+
\end{array}
\end{array}
-
\right\}
+
\right)
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 749: Línea 486:
<br/>
<br/>
-
satisface las condiciones arriba mencionadas, su solución viene dada por:
+
son
<br/>
<br/>
Línea 755: Línea 492:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
x_1 \, = \, \frac
+
\begin{array}{ccc}
-
{
+
\alpha_{11} =
-
\left|
+
\left|
-
\begin{array}[c]{cccc}
+
\begin{array}[c]{cc}
-
b_1 & a_{12} & \ldots & a_{1n}
+
5 & 6
-
\\
+
\\
-
b_2 & a_{22} & \ldots & a_{2n}
+
8 & 0
-
\\
+
\end{array}
-
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
+
\right|
-
\\
+
&
-
b_m & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
+
\qquad \alpha_{12} =
-
\end{array}
+
\left|
-
\right|
+
\begin{array}[c]{cc}
-
}
+
4 & 6
-
{|\mathbf{A}|}
+
\\
-
, \qquad \qquad x_2 \, = \, \frac
+
7 & 0
-
{
+
\end{array}
-
\left|
+
\right|
-
\begin{array}[c]{cccc}
+
&
-
a_{11} & b_1 & \ldots & a_{1n}
+
\qquad \alpha_{13} =
-
\\
+
\left|
-
a_{21} & b_2 & \ldots & a_{2n}
+
\begin{array}[c]{cc}
-
\\
+
4 & 5
-
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
+
\\
-
\\
+
7 & 8
-
a_{m1} & b_m & \ldots & a_{mn}
+
\end{array}
-
\end{array}
+
\right|
-
\right|
+
\end{array}
-
}
+
-
{|\mathbf{A}|}, \qquad \qquad \ldots \ldots
+
</math>
</math>
</center>
</center>
-
 
-
<br/>
 
-
 
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\ldots \ldots, \qquad \qquad x_n \, = \, \frac
+
\begin{array}{ccc}
-
{
+
\alpha_{21} =
-
\left|
+
\left|
-
\begin{array}[c]{cccc}
+
\begin{array}[c]{cc}
-
a_{11} & a_{12} & \ldots & b_1
+
2 & 3
-
\\
+
\\
-
a_{21} & a_{22} & \ldots & b_2
+
8 & 0
-
\\
+
\end{array}
-
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
+
\right|
-
\\
+
&
-
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & b_m
+
\qquad \alpha_{22} =
-
\end{array}
+
\left|
-
\right|
+
\begin{array}[c]{cc}
-
}
+
1 & 3
-
{|\mathbf{A}|}
+
\\
-
\qquad \qquad
+
7 & 0
 +
\end{array}
 +
\right|
 +
&
 +
\qquad \alpha_{23} =
 +
\left|
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
1 & 2
 +
\\
 +
7 & 8
 +
\end{array}
 +
\right|
 +
\end{array}
 +
</math>
 +
</center>
 +
<center>
 +
<math>
 +
\begin{array}{ccc}
 +
\alpha_{31} =
 +
\left|
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
2 & 3
 +
\\
 +
5 & 6
 +
\end{array}
 +
\right|
 +
&
 +
\qquad \alpha_{32} =
 +
\left|
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
1 & 3
 +
\\
 +
4 & 6
 +
\end{array}
 +
\right|
 +
&
 +
\qquad \alpha_{33} =
 +
\left|
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
1 & 2
 +
\\
 +
4 & 5
 +
\end{array}
 +
\right|
 +
\end{array}
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 813: Línea 589:
<br/>
<br/>
-
En general
+
Los adjuntos de los elementos de &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathbf{A}
 +
</math>
 +
&nbsp; son:
<br/>
<br/>
Línea 819: Línea 599:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
x_i \, = \, \frac{|\mathbf{A}_i|}{|\mathbf{A}|}
+
\begin{array}{ccccccccccc}
 +
A_{11} & = & -48 & \qquad & A_{12} & = & ~42 & \qquad & A_{13} & = & -3
 +
\\
 +
A_{21} & = & ~24 & \qquad & A_{22} & = & -21 & \qquad & A_{23} & = & ~6
 +
\\
 +
A_{31} & = & ~-3 & \qquad & A_{32} & = & ~~6 & \qquad & A_{33} & = & -3
 +
&\end{array}
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 825: Línea 611:
<br/>
<br/>
-
donde &nbsp;
+
La matriz adjunta de &nbsp;
-
<math>
+
-
\mathbf{A}_i
+
-
</math>
+
-
&nbsp; es la matriz que se obtiene sustituyendo la i-esima columna de &nbsp;
+
<math>
<math>
\mathbf{A}
\mathbf{A}
</math>
</math>
-
&nbsp; por la [[Definición y tipos|matriz de los terminos independientes]], &nbsp;
+
&nbsp; es
-
<math>
+
-
B
+
-
</math>
+
-
&nbsp;.
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
===Ejemplo===
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
Consideremos el sistema de ecuaciones:
+
<br/>
<br/>
Línea 850: Línea 621:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\left\{
+
\makebox{Adj} \left( \mathbf{A} \right) =
-
\begin{array}[c]{rcl}
+
\left(
-
x \, + \, y \, = \, 2
+
\begin{array}{ccc}
-
\\
+
-48 & ~42 & -3
-
x \, - \, y \, = \, 0
+
\\
-
\end{array}
+
~24 & -21 & ~6
-
\right.
+
\\
 +
~-3 & ~~6 & -3
 +
\end{array}
 +
\right)
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 862: Línea 636:
<br/>
<br/>
-
En este sistema de ecuaciones lineales, la matriz &nbsp;
+
El determinante de
<math>
<math>
\mathbf{A}
\mathbf{A}
</math>
</math>
-
&nbsp; de los coeficientes es una matriz cuadrada y &nbsp;
+
lo podemos calcular [[Desarrollo de un determinante#Desarrollo de un determinante|desarrollando]] por la primera fila:
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
<math>
<math>
-
|\mathbf{A}| \, = \,
+
\left| \mathbf{A} \right| = a_{11} \cdot A_{11} + a_{12} \cdot A_{12} + a_{13}
-
\left|
+
\cdot A_{13} = 1 \cdot \left( \, -48 \, \right) + 2 \cdot 42 + 3 \cdot \left( \,
-
\begin{array}[c]{cc}
+
-3 \, \right) = 25
-
1 & ~~1
+
-
\\
+
-
1 & -1
+
-
\end{array}
+
-
\right|
+
-
\, = \, -2 \neq 0
+
</math>
</math>
-
. Por lo tanto, podemos aplicar la regla de Cramer para resolverlo:
+
</center>
<br/>
<br/>
 +
Por lo tanto, la matriz inversa de
 +
<math>
 +
\mathbf{A}
 +
</math>
 +
es
<center>
<center>
<math>
<math>
-
x \, = \, \frac
+
\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\left| \mathbf{A} \right|} \cdot
-
{
+
\left[
-
\left|
+
\makebox{Adj}
-
\begin{array}[c]{cc}
+
\left(
-
2 & ~~1
+
\, \mathbf{A} \,
-
\\
+
\right)
-
0 & -1
+
\right]
-
\end{array}
+
^t =
-
\right|
+
\frac{1}{25} \cdot
-
}
+
\left(
-
{|\mathbf{A}|} \, = \, \frac{-2}{-2} \, = \, 1
+
\begin{array}{ccc}
-
\qquad \qquad y \, = \, \frac
+
-48 & ~24 & -3
-
{
+
\\
-
\left|
+
~42 & -21 & ~6
-
\begin{array}[c]{cc}
+
\\
-
1 & 2
+
~-3 & ~~6 & -3
-
\\
+
\end{array}
-
1 & 0
+
\right)
-
\end{array}
+
-
\right|
+
-
}
+
-
{|\mathbf{A}|}\, = \, \frac{-2}{-2} \, = \, 1
+
</math>
</math>
</center>
</center>
-
<br/>
+
==Ejercicios resueltos==
 +
 
 +
{{problemas}}* [http://www.selectividad.tv/S_M_4_1_2_S_producto_e_invertibilidad_de_matrices.html Producto e invertibilidad de matrices]
[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]

Revisión actual

Tabla de contenidos


Definición


La matriz inversa de una matriz cuadrada   \mathbf{A}   de orden   n,   es la matriz cuadrada   \mathbf{A}^{-1}   tambien de orden   n   que verifica:


\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{A} = I


donde   \mathbf{I}   es la matriz identidad de orden   n .


Existencia de la matriz inversa


Las matrices que tienen inversa se llaman regulares y las que NO tienen inversa, singulares.


Una matriz cuadrada de orden n es regular si, y solo si, su rango es n.


Una matriz cuadrada de orden n es singular si, y solo si, su determinante es cero.


Propiedades


Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa son las siguientes:


1.   Si existe,   \mathbf{A}^{-1}   es única.


2.   \left( </p> <pre>\mathbf{A}^{-1} </pre> <p>\right) ^{-1} = \mathbf{A}


3.   \left( </p> <pre>\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} </pre> <p>\right) ^{-1} = \mathbf{B}^{-1} \cdot \mathbf{A}^{-1}


4. El determinante de una matriz regular \mathbf{A} es el inverso del determinante de su matriz inversa:


\left| \mathbf{A}^{-1} \right| = \frac{1}{\left| \mathbf{A} \right|}


Cálculo de la matriz inversa


La matriz inversa de una matriz regular se puede calcular de diferentes maneras:


Resolviendo un sistema de ecuaciones lineales


Ejemplo


\mathbf{A} = \left( </p> <pre>\begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{array} </pre> <p>\right)


hacemos


\mathbf{A}^{-1} = \left( </p> <pre>\begin{array}[c]{cc} a & b \\ c & d \end{array} </pre> <p>\right)


como


I = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} \Rightarrow \left( </p> <pre>\begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{array} </pre> <p>\right) \cdot \left( </p> <pre>\begin{array}[c]{cc} a & b \\ c & d \end{array} </pre> <p>\right) = \left( </p> <pre>\begin{array}[c]{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} </pre> <p>\right)


Operando:


\left( </p> <pre>\begin{array}[c]{cc} a + 2c & b + 2d \\ 3a + 7c & 3b + 7d \end{array} </pre> <p>\right) = \left( </p> <pre>\begin{array}[c]{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} </pre> <p>\right) \Leftrightarrow \left\{ </p> <pre>\begin{array}[c]{ccc} a + 2c & = & 1 \\ 3a + 7c & = & 0 \\ b + 2d & = & 0 \\ 3b + 7d & = & 1 \\ \end{array} </pre> <p>\right.


\Rightarrow \left\{ </p> <pre>\begin{array}[c]{ccc} a & = & 7 \\ b & = & -2 \\ c & = & -3 \\ d & = & 1 \\ \end{array} </pre> <p>\right.


Por el método de Gauss


La inversa de una matriz regular   \mathbf{A}   se puede calcular transformando la matriz   \left( </p> <pre>\, \mathbf{A} \, \left| \, \mathbf{I} \, \right. </pre> <p>\right)   mediante operaciones elementales con las filas de la matriz   \left( </p> <pre>\, \mathbf{I} \, \left| \, \mathbf{A}^{-1} \, \right. </pre> <p>\right)


Operaciones elementales con las filas de una matriz


Las operaciones elementales con las filas de una matriz que podemos realizar en el metodo de Gauss son las siguientes:


1. Intercambiar las filas   F_i   y   F_j .   Esta operación la representaremos así


F_i \longleftrightarrow F_j


2. Multiplicar la fila   F_i   por el número   s \neq 0   y sustituir   F_i   por   s \cdot F_i .   Esta operación la representamos de la siguiente forma:


s \cdot F_i \longrightarrow F_i


3. Sumar las filas   F_i   y   F_j ,   multiplicadas por sendos números, s y t , y sustituir   F_i   por el resultado de esta suma. Lo representamos así:


s \cdot F_i + t \cdot F_j \longrightarrow F_i


Notese que el segundo tipo de operación,   s \cdot F_i \longrightarrow F_i ,   es un caso particular de esta última propiedad que se tiene cuando   t = 0 .


Mediante la matriz adjunta


La matriz inversa de una matriz regular   \mathbf{A}   se puede calcular mediante la expresión: 



\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\left| \mathbf{A} \right|} \cdot
\left[
 \makebox{Adj}
 \left(
   \, \mathbf{A} \, 
 \right)
\right]
^t


donde   </p> <pre>\makebox{Adj} \left( \, \mathbf{A} \, \right) </pre> <p>   es la matriz adjunta de   \mathbf{A} .


Definición de matriz adjunta


La matriz cuyos elementos son los correspondientes adjuntos de los elementos de una matriz cuadrada   \mathbf{A}   se llama matriz adjunta de   \mathbf{A}   y se denota por   \makebox{Adj} \left( \mathbf{A} \right) .   El elemento en la i-esima fila y j-esima columna de la matriz adjunta de \mathbf{A} es   A_{ij} ,   el adjunto del elemento de \mathbf{A} en su fila i-esima y columna j-esima \left( \, a_{ij} \, \right)} .


Ejemplo


Los menores complementarios de los elementos de la matriz


\mathbf{A} = \left( </p> <pre> \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 0 \end{array} </pre> <p>\right)


son


\begin{array}{ccc} \alpha_{11} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 5 & 6 \\ 8 & 0 \end{array} </pre> <p>\right| & \qquad \alpha_{12} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 4 & 6 \\ 7 & 0 \end{array} </pre> <p>\right| & \qquad \alpha_{13} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} </pre> <p>\right| \end{array}

\begin{array}{ccc} \alpha_{21} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 2 & 3 \\ 8 & 0 \end{array} </pre> <p>\right| & \qquad \alpha_{22} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 3 \\ 7 & 0 \end{array} </pre> <p>\right| & \qquad \alpha_{23} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{array} </pre> <p>\right| \end{array}

\begin{array}{ccc} \alpha_{31} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{array} </pre> <p>\right| & \qquad \alpha_{32} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{array} </pre> <p>\right| & \qquad \alpha_{33} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{array} </pre> <p>\right| \end{array}


Los adjuntos de los elementos de   \mathbf{A}   son:


\begin{array}{ccccccccccc} A_{11} & = & -48 & \qquad & A_{12} & = & ~42 & \qquad & A_{13} & = & -3 \\ A_{21} & = & ~24 & \qquad & A_{22} & = & -21 & \qquad & A_{23} & = & ~6 \\ A_{31} & = & ~-3 & \qquad & A_{32} & = & ~~6 & \qquad & A_{33} & = & -3 &\end{array}


La matriz adjunta de   \mathbf{A}   es


\makebox{Adj} \left( \mathbf{A} \right) = \left( </p> <pre> \begin{array}{ccc} </pre> <p>-48 & ~42 & -3 \\ ~24 & -21 & ~6 \\ ~-3 & ~~6 & -3 \end{array} \right)


El determinante de \mathbf{A} lo podemos calcular desarrollando por la primera fila:


\left| \mathbf{A} \right| = a_{11} \cdot A_{11} + a_{12} \cdot A_{12} + a_{13} \cdot A_{13} = 1 \cdot \left( \, -48 \, \right) + 2 \cdot 42 + 3 \cdot \left( \, </p> <pre> -3 \, \right) = 25 </pre> <p>


Por lo tanto, la matriz inversa de \mathbf{A} es

\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\left| \mathbf{A} \right|} \cdot </p> <pre>\left[ \makebox{Adj} \left( \, \mathbf{A} \, \right) \right] ^t = \frac{1}{25} \cdot \left( \begin{array}{ccc} </pre> <p>-48 & ~24 & -3 \\ ~42 & -21 & ~6 \\ ~-3 & ~~6 & -3 \end{array} \right)

Ejercicios resueltos

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Obtenido de "http://wikillerato.org/Matriz_inversa.html"
   
 
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