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Propiedades de las derivadas

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
(Página nueva: __TOC__ <br/> ==Derivada una función constante== <br/> La derivada de una función constante es cero. <br/> ===Ejemplo=== <br/> Si &nbsp; <math> \mathrm{f} \left( \, x \, \r...)
Revisión actual (19:46 11 abr 2013) (editar) (deshacer)
(→Derivada de un cociente de funciones)
 
(6 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 17: Línea 17:
Si &nbsp;
Si &nbsp;
<math>
<math>
-
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 2, \, \forall x \in \mathbb{R}
+
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 1, \, \forall x \in \mathbb{R}
</math>,
</math>,
&nbsp; entonces
&nbsp; entonces
Línea 52: Línea 52:
<br/>
<br/>
-
\left( \, \mathrm{f}_1 + \mathrm{f}_n + \ldots + \mathrm{f}_n \, \right) =
+
<center>
 +
<math>
 +
\left( \, \mathrm{f}_1 + \mathrm{f}_n + \ldots + \mathrm{f}_n \, \right)^\prime =
\mathrm{f}_1^\prime + \mathrm{f}_n^\prime + \ldots + \mathrm{f}_n^\prime
\mathrm{f}_1^\prime + \mathrm{f}_n^\prime + \ldots + \mathrm{f}_n^\prime
 +
</math>
 +
</center>
<br/>
<br/>
Línea 84: Línea 88:
<math>
<math>
\left(
\left(
-
\, x^2 + x \,
+
\, x^2 - x \,
\right)^\prime =
\right)^\prime =
-
\left( \, x^2 \, \right)^\prime + \left( \, x \, \right)^\prime = 2x + 1
+
\left( \, x^2 \, \right)^\prime - \left( \, x \, \right)^\prime = 2x - 1
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 180: Línea 184:
\, \frac{x^2}{e^x} \,
\, \frac{x^2}{e^x} \,
\right)
\right)
-
^\prime \, = \, \frac{\left( \, x^2 \, \right)^\prime \cdot e^x - x^2\cdot\left(
+
^\prime \, = \, \frac{\left( \, x^2 \, \right)^\prime \cdot e^x - x^2\cdot\left(, e^x \, \right)^2} =
-
\, e^x \, \right)^\prime}{\left( \, e^x \, \right)^2} =
+
\frac{2x \cdot e^x - x^2 \cdot e^x }{e^{2x}} = \frac{2x - x^2}{e^x}
\frac{2x \cdot e^x - x^2 \cdot e^x }{e^{2x}} = \frac{2x - x^2}{e^x}
</math>
</math>

Revisión actual

Tabla de contenidos



Derivada una función constante


La derivada de una función constante es cero.


Ejemplo


Si   \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 1, \, \forall x \in \mathbb{R} ,   entonces

\mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right) = 0, \, \forall x \in \mathbb{R}


Derivada de una suma de funciones


La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas funciones: 



\left(
 \, \mathrm{f} \, + \, \mathrm{g} \,
\right)
^\prime \, = \, \mathrm{f}^\prime \, + \, \mathrm{g}^\prime \,


Este resultado, se puede ampliar a cualquier número de funciones:


\left( \, \mathrm{f}_1 + \mathrm{f}_n + \ldots + \mathrm{f}_n \, \right)^\prime = \mathrm{f}_1^\prime + \mathrm{f}_n^\prime + \ldots + \mathrm{f}_n^\prime


Derivada de una diferencia de funciones


La derivada de la diferencia de dos funciones es igual a la diferencia de las derivadas de dichas funciones: 



\left(
 \, \mathrm{f} \, - \, \mathrm{g} \,
\right)
^\prime \, = \, \mathrm{f}^\prime \, - \, \mathrm{g}^\prime \,


Ejemplo


\left( </p> <pre> \, x^2 - x \, </pre> <p>\right)^\prime = \left( \, x^2 \, \right)^\prime - \left( \, x \, \right)^\prime = 2x - 1


Derivada de un producto de funciones


La derivada del producto de dos funciones,   \mathrm{f}   y   \mathrm{g} , viene dada por la fórmula: 



\left(
 \, \mathrm{f} \cdot \mathrm{g} \,
\right)
^\prime \, = \, \mathrm{f}^\prime \cdot \mathrm{g} \, + \, \mathrm{f} \cdot \mathrm{g}^\prime \,


Ejemplo


\left( </p> <pre> \, x^2 \cdot x \, </pre> <p>\right)^\prime = \left( \, x^2 \, \right)^\prime \cdot x + x^2 \cdot \left( \, x \, \right)^\prime = 2x \cdot x + x^2 \cdot 1 = 3x^2

Observese que   x^2 \cdot x = x^3   y que la derivada de   x^3   es precisamente   3x^2 .


Derivada de un cociente de funciones


La derivada del cociente   \frac{f}{g}   viene dada por la fórmula: 



\left(
 \, \frac{f}{g} \,
\right)
^\prime \, = \, \frac{\mathrm{f}^\prime \cdot \mathrm{g} \, - \, \mathrm{f} \cdot \mathrm{g}^\prime}{\mathrm{g}^2}


Ejemplo


\left( </p> <pre> \, \frac{x^2}{e^x} \, </pre> <p>\right) ^\prime \, = \, \frac{\left( \, x^2 \, \right)^\prime \cdot e^x - x^2\cdot\left(, e^x \, \right)^2} = </p> <pre>\frac{2x \cdot e^x - x^2 \cdot e^x }{e^{2x}} = \frac{2x - x^2}{e^x} </pre> <p>


Obtenido de "http://wikillerato.org/Propiedades_de_las_derivadas.html"
   
 
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