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La derivada como una tasa de variación instantánea

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
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La derivada de la función  
 
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<math>
 
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\mathrm{f}
 
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</math>
 
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&nbsp; en el punto &nbsp;
 
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<math>
 
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x \, = \, a
 
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</math>
 
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, &nbsp;
 
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<math>
 
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\mathrm{f}^\prime
 
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\left(
 
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\, a \,
 
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\right)
 
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</math>
 
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, si existe, es el valor del limite:
 
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<br/>
 
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<center>
 
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<math>
 
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\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \,
 
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\mathrm{f} \left( \, a \, \right)}{h}
 
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</math>.
 
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</center>
 
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<br/>
 
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Si &nbsp;
 
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<math>
 
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\mathrm{f}^\prime
 
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\left(
 
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\, a \,
 
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\right)
 
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</math>
 
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&nbsp; es un número real, la función &nbsp;
 
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<math>
 
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\mathrm{f}
 
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</math>
 
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&nbsp; es derivable en &nbsp;
 
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<math>
 
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x \, = \, a
 
-
</math>.
 
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Si &nbsp;
 
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<math>
 
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\mathrm{f}^\prime
 
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\left(
 
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\, a \,
 
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\right)
 
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</math>
 
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&nbsp; no es un número real o el límite no existe, la función &nbsp;
 
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<math>
 
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\mathrm{f}
 
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</math>
 
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&nbsp; no es derivable en dicho punto.
 
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<br/>
 
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==Ejemplo==
 
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<br/>
 
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Calculemos la derivada de &nbsp;
 
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<math>
 
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\mathrm{f}
 
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\left(
 
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\, x \,
 
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\right)
 
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\, = \, x^2
 
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</math>
 
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&nbsp; en &nbsp;
 
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<math>
 
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x \, = \, 2
 
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</math>:
 
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<br/>
 
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<center>
 
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<math>
 
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\mathrm{f}^\prime
 
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\left(
 
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\, 2 \,
 
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\right)
 
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\, = \, \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 2 \, + \, h \, \right) \, - \,
 
-
\mathrm{f} \left( \, 2 \, \right)}{h} \, = \, \lim_{h \to 0} \frac
 
-
{\left( \, 2 \, + \, h \, \right)^2 \, - \, 2^2}{h} \, = \,
 
-
</math>
 
-
 
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<br/>
 
-
 
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<math>
 
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\, = \, \lim_{h \to 0}
 
-
\frac {\left( \, 4 \, + \, 4h \, + \, h^2 \, \right) \, - \, 4}{h} \, = \,
 
-
\lim_{h \to 0} \frac {4h \, + \, h^2}{h} \, = \, \lim_{h \to 0}
 
-
\left(
 
-
\, h \, + 4 \, \,
 
-
\right)
 
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\, = \, 4
 
-
</math>
 
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</center>
 
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<br/>
 
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[[Category:Matemáticas]]
 
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%% }}}
 
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%% {{{ =
 
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==Tasa de variación media==
==Tasa de variación media==

Revisión de 16:46 11 ene 2007

Tasa de variación media


Supongamos que un coche formula uno se mueve en una carretera totalmente recta. A distintas distancias de la salida se registran los tiempos de paso, obteniendose la siguiente tabla:


Imagen:tabla7.png


En este caso, la posición,   y , se puede ver como una función,   \mathrm{f} , del tiempo,   x . Es decir:


y \, = \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right)


La tasa de variación media de la posición en el intervalo de tiempo desde el instante   9   al instante   13.4   es:


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


En general, la tasa de variación media de la función   \mathrm{f}   en   \left[ </p> <pre> \, a, \, b \, </pre> <p>\right]   se define como el cociente:


\frac{\mathrm{f} \left( \, b \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, a \, </p> <pre> \right)}{b \, - \, a} </pre> <p>


Tasa de variación instantánea


La tasa de variación instantánea de la función   f   en el punto   x \, = \, a   se obtiene haciendo tender   b   a   a   en la tasa de variación media' de la función   f   en el intervalo   \left[ </p> <pre> \, a, \, b \, </pre> <p>\right] . Por tanto, la tasa de variación instantánea de la función   f   en el punto   x \, = \, a   es


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


que es precisamente la derivada de la función   f   en el punto   x \, = \, a .

Obtenido de "http://wikillerato.org/La_derivada_como_una_tasa_de_variaci%C3%B3n_instant%C3%A1nea.html"
   
 
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