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La derivada como una tasa de variación instantánea

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Supongamos que un coche formula uno se mueve en una carretera totalmente recta. A
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Supongamos que un coche de formula uno se mueve en una carretera totalmente recta. A
distintas distancias de la salida se registran los tiempos de paso, obteniendose la
distintas distancias de la salida se registran los tiempos de paso, obteniendose la
siguiente tabla:
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\frac{\mathrm{f} \left( \, 13.4 \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, 9 \,
\frac{\mathrm{f} \left( \, 13.4 \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, 9 \,
-
\right)}{13.4 \, - \, 9} \, = \, \frac{}{4.4}
+
\right)}{6.7 \, - \, 4.5} \, = \, 2
</math>
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a
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&nbsp; en la '''''tasa de variación media'''' de la función &nbsp;
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&nbsp; en la '''''tasa de variación media''''' de la función &nbsp;
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f
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\right]
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Por tanto, la '''''tasa de variación instantánea''''' de la función &nbsp;
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; por tanto, la '''''tasa de variación instantánea''''' de la función &nbsp;
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\lim_{h \to 0}\frac{\mathbf{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \, \mathbf{f}\left( \, a \, \right)}{h}
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\lim_{h \to 0}\frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, a \, \right)}{h}
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x \, = \, a
x \, = \, a
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Revisión de 16:50 11 ene 2007

Tasa de variación media


Supongamos que un coche de formula uno se mueve en una carretera totalmente recta. A distintas distancias de la salida se registran los tiempos de paso, obteniendose la siguiente tabla:


Imagen:tabla7.png


En este caso, la posición,   y , se puede ver como una función,   \mathrm{f} , del tiempo,   x . Es decir:


y \, = \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right)


La tasa de variación media de la posición en el intervalo de tiempo desde el instante   9   al instante   13.4   es:


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


En general, la tasa de variación media de la función   \mathrm{f}   en   \left[ </p> <pre> \, a, \, b \, </pre> <p>\right]   se define como el cociente:


\frac{\mathrm{f} \left( \, b \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, a \, </p> <pre> \right)}{b \, - \, a} </pre> <p>


Tasa de variación instantánea


La tasa de variación instantánea de la función   f   en el punto   x \, = \, a   se obtiene haciendo tender   b   a   a   en la tasa de variación media de la función   f   en el intervalo   \left[ </p> <pre> \, a, \, b \, </pre> <p>\right] .

por tanto, la tasa de variación instantánea de la función  

f   en el punto   x \, = \, a   es


\lim_{h \to 0}\frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, a \, \right)}{h}


que es precisamente la derivada de la función   f   en el punto   x \, = \, a .


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