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Distribuciones discretas

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Revisión actual (22:38 12 ene 2007) (editar) (deshacer)
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Se llama '''''función de probabilidad de una variable aleatoria discreta &nbsp;
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Se llama '''''función de probabilidad de una variable aleatoria discreta''''' &nbsp;
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X
X
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''''' a la aplicacion que a cada valor de &nbsp;
+
&nbsp; a la aplicacion que a cada valor de &nbsp;
<math>
<math>
x_i
x_i
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-
\sum_{i \, = \, 1}^n \mathrm{f} \left( \, x_i \, \right) \, = \, x_1 \, + \, x_2 \, + \,
+
\sum_{i \, = \, 1}^n \mathrm{f} \left( \, x_i \, \right) \, = \, \mathrm{f} \left( \,
-
\ldots \, + \, x_n
+
x_1 \, \right) \, + \, \mathrm{f} \left( \, x_2 \, \right) \, + \,
 +
\ldots \, + \, \mathrm{f} \left( \, x_n \, \right) \, = \, 1
</math>
</math>
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</center>
Línea 106: Línea 107:
\right)
\right)
\, = \, \frac{3}{8}
\, = \, \frac{3}{8}
 +
\qquad
\\
\\
-
\hline
+
&
\\
\\
\mathrm{f} \left( \, 2 \, \right) \, = \, \mathrm{P}
\mathrm{f} \left( \, 2 \, \right) \, = \, \mathrm{P}
Línea 119: Línea 121:
\, X \, = \, 3 \,
\, X \, = \, 3 \,
\right)
\right)
-
\, = \, \frac{1}{8}
+
\, = \, \frac{1}{8} \qquad
\end{array}
\end{array}
</math>
</math>
Línea 131: Línea 133:
\mathrm{f} \left( \, 2 \, \right) \, + \, \mathrm{f} \left( \, 3 \, \right) \, = \, 1
\mathrm{f} \left( \, 2 \, \right) \, + \, \mathrm{f} \left( \, 3 \, \right) \, = \, 1
</math>
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==Función de distribución==
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Dada una variable aleatoria discreta &nbsp;
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X
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, su '''''función de distribución''''' es la aplicación que a cada valor de &nbsp;
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x_i
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&nbsp; de la variable le asigna la probabilidad de que ésta tome valores menores o
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iguales que &nbsp;
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x_i
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, y la denotamos por:
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\mathrm{F} \left( \, x_i \, \right) \, = \, \mathrm{P}
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\, X \le x_i \,
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La función de distribución de cualquier variable aleatoria discreta tiene las siguientes
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caracteristicas:
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1. Al ser una probabilidad, &nbsp;
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1 \ge \mathrm{F} \left( \, x_i \, \right) \ge 0
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2. &nbsp;
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\mathrm{F} \left( \, x \, \right)
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&nbsp; es nula para todo valor de &nbsp;
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x
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&nbsp; menor que el menor valor de la variable aleatoria, y es igual a uno para
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todo valor de &nbsp;
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x
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&nbsp; mayor que el mayor valor de la variable.
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\mathrm{F} \left( \, x \, \right)
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\mathrm{F} \left( \, x \, \right)
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&nbsp; es constante en cada intervalo &nbsp;
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\left(
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\, x_i, \, x_{i \, + \, 1} \,
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, además es continua a la derecha de &nbsp;
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x_i
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&nbsp; y a la izquierda &nbsp;
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x_{i \, + \, 1}
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, y discontinua a la izquierda de &nbsp;
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x_i
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&nbsp; y a la derecha de &nbsp;
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i \, = \, 1, \, \ldots, \, n \, - \, 1
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5. Sea &nbsp;
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x_j > x_i
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, entonces &nbsp;
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\mathrm{F}
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\left(
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\mathrm{F}
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\, x_i \,
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\left(
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\, x_j \ge X > x_i \,
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==Distribución binomial==
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===Definición===
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Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes caracteristicas:
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1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso &nbsp; <math> A </math> , llamado
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''exito'', y su contrario, &nbsp; <math> \bar{A} </math>, llamado ''fracaso''.
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2. El resultado de cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.
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3. La probabilidad de &nbsp; <math> A </math> , que denotamos por &nbsp; <math> p
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</math> , no varía de una prueba a otra.
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4. En cada experimento se realizan &nbsp; <math> n </math> &nbsp; pruebas idénticas.
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Todo experimento aleatorio con estas características se dice que sigue el modelo de la
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distribución binomial.
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A la variable &nbsp;
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X
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, que representa el número de éxitos obtenidos en el experimento, se le
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llama '''''variable aleatoria binomial'''''.
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Existen varias maneras de obtener &nbsp;
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r
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&nbsp; exitos en las &nbsp;
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&nbsp; pruebas. Supongamos que lanzamos una moneda &nbsp;
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n \, = \, 3
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&nbsp; veces y calculemos la probabilidad del suceso "obtener 2 caras": &nbsp;
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\left\{
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\, X \, = \, 2 \,
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\right\}
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. ( Aqui el exito es que salga cara ). Existen tres posibilidades de que ocurra &nbsp;
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\left\{
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\, X \, = \, 2 \,
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\begin{array}[c]{cc}
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1^\circ: & \bar{A}AA
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\\
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2^\circ: & A\bar{A}A
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\\
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3^\circ: & AA\bar{A}
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La diferencia entre estas tres posibilidades ( sucesos elementales ) es la prueba en que
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ocurre el fracaso. En el primer caso, el fracaso ocurre en la primera prueba; en el
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segundo caso ocurre en la segunda y en el tercer caso ocurre en la tercera.
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Como estos sucesos son incompatibles, se tiene que:
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\mathrm{P}
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\left(
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\, = \, \mathrm{P}
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\left(
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\left(
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\, A\bar{A}A \,
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\left(
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\, AA\bar{A} \,
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Por otra parte, &nbsp;
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\mathrm{P}
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\left(
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\, \bar{A}AA \,
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\right)
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\, = \, \mathrm{P}
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\left(
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\, A\bar{A}A \,
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\, = \, \mathrm{P}
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\left(
 +
\, AA\bar{A} \,
 +
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\, = \, p^2 \cdot
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\left(
 +
\, 1 \, - \, p \,
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\right)
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. Por ejemplo:
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\mathrm{P}
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\left(
 +
\, AA\bar{A}
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\, = \, \mathrm{P} \left( \, A \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, A \, \right)
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\cdot \mathrm{P} \left( \, \bar{A} \, \right) \, = \, p \cdot p \cdot \left( \, 1 \, - \,
 +
p \, \right)
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donde la primera igualdad es cierta porque los resultados de las tres pruebas son
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independientes.
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Así
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\, X \, = \, 2 \,
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\, 1 \, - \, p \,
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En general:
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\mathrm{P}
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\left(
 +
\, { n \atop r }
 +
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^
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\right)
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donde
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{ n \atop r }
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\, = \, \frac{n!}{r!\left( \, n \, - \, r \, \right)!}
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es el número de sucesos elementales que componen el suceso &nbsp;
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&nbsp; ( estos sucesos elementales tienen en comun un mismo número de exitos y de
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fracasos y solo se diferencian en el orden en que ocurren los exitos y los fracasos ).
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p^r \cdot
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\, 1 \, - \, p \,
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^
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\, n \, - \, r \,
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\right)
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&nbsp; es la probabilidad de cada uno de estos sucesos elementales.
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Al ser la variable aleatoria binomial una variable aleatoria discreta, tiene asociadas
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una función de probabilidad y una función de distribución.
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NOTA: &nbsp;
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&nbsp; es el factorial de &nbsp;
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, &nbsp;
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===Ejemplo===
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¿Cual es la probabilidad de que en una familia con 5 hijos, 3 sean chicos y 2 chicas?
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En este caso el experimento aleatorio consiste de &nbsp;
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n \, = \, 5
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&nbsp; "pruebas". Cada una de estas pruebas
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es el nacimiento de un hijo. Supongamos que la probabilidad de que un hijo sea chico es
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de &nbsp;
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p \, = \, 0,5
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. Entonces, si &nbsp;
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X
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&nbsp; es el numero de hijos varones, se tiene que:
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\mathrm{P}
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 +
\, X \, = \, 3 \,
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\right)
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\left(
 +
{ 5 \atop 3 }
 +
\right)
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 +
\left(
 +
\, 1 \, - \, 0,5 \,
 +
\right)
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^
 +
{
 +
\left(
 +
\, 5 \, - \, 3 \,
 +
\right)
 +
}
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\, = \, \frac{5!}{3!2!} \cdot 0,5^5 \, = \, 10 \cdot 0,5^5
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[[Category:Matemáticas]]
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Revisión actual

Tabla de contenidos


Función de probabilidad


Denotaremos como   \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, X \, = \, x_i \, </pre> <p>\right)   a la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor   x_i .


Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta   X   a la aplicacion que a cada valor de   x_i   de la variable le hace corresponder la probabilidad de que la variable tome dicho valor:


\mathrm{f} \left( </p> <pre> \, x_i \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, X \, = \, x_i \, \right) </pre> <p>


Por definición, deducimos que si   \left\{ </p> <pre> \, x_1, \, x_2, \ldots, \, x_n \, </pre> <p>\right\}   son los valores que puede tomar la variable   X , entonces:


\sum_{i \, = \, 1}^n \mathrm{f} \left( \, x_i \, \right) \, = \, \mathrm{f} \left( \, </p> <pre> x_1 \, \right) \, + \, \mathrm{f} \left( \, x_2 \, \right) \, + \, </pre> <p>\ldots \, + \, \mathrm{f} \left( \, x_n \, \right) \, = \, 1


ya que esta suma es, en realidad, la probabilidad del suceso seguro.


Ejemplo


En el experimento de lanzar tres monedas al aire, la aplicación   X   que asigna a cada resultado el numero de cruces obtenidas es una variable aleatoria. En este caso:


\begin{array}[c]{cc} \mathrm{f} \left( \, 0 \, \right) \, = \, \mathrm{P} </p> <pre>\left( \, X \, = \, 0 \, \right) \, = \, \frac{1}{8} \qquad & \mathrm{f} \left( \, 1 \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, X \, = \, 1 \, \right) \, = \, \frac{3}{8} \qquad \\ & \\ \mathrm{f} \left( \, 2 \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, X \, = \, 2 \, \right) \, = \, \frac{3}{8} \qquad & \mathrm{f} \left( \, 3 \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, X \, = \, 3 \, \right) \, = \, \frac{1}{8} \qquad </pre> <p>\end{array}


Observa que   \mathrm{f} \left( \, 0 \, \right) \, + \, \mathrm{f} \left( \, 1 \, \right) \, + \, \mathrm{f} \left( \, 2 \, \right) \, + \, \mathrm{f} \left( \, 3 \, \right) \, = \, 1


Función de distribución


Dada una variable aleatoria discreta   X , su función de distribución es la aplicación que a cada valor de   x_i   de la variable le asigna la probabilidad de que ésta tome valores menores o iguales que   x_i , y la denotamos por:


\mathrm{F} \left( \, x_i \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, X \le x_i \, </pre> <p>\right)


La función de distribución de cualquier variable aleatoria discreta tiene las siguientes caracteristicas:


1. Al ser una probabilidad,   1 \ge \mathrm{F} \left( \, x_i \, \right) \ge 0 .


2.   \mathrm{F} \left( \, x \, \right)   es nula para todo valor de   x   menor que el menor valor de la variable aleatoria, y es igual a uno para todo valor de   x   mayor que el mayor valor de la variable.


3.   \mathrm{F} \left( \, x \, \right)   es creciente.


4.   \mathrm{F} \left( \, x \, \right)   es constante en cada intervalo   \left( </p> <pre> \, x_i, \, x_{i \, + \, 1} \, </pre> <p>\right) , además es continua a la derecha de   x_i   y a la izquierda   x_{i \, + \, 1} , y discontinua a la izquierda de   x_i   y a la derecha de   x_{i+1} , para   i \, = \, 1, \, \ldots, \, n \, - \, 1


5. Sea   x_j > x_i , entonces   \mathrm{F} \left( </p> <pre> \, x_j \, \right) \, - \, \mathrm{F} </pre> <p>\left( </p> <pre> \, x_i \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, x_j \ge X > x_i \, \right) </pre> <p>


Distribución binomial


Definición


Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes caracteristicas: 


1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso    A  , llamado
exito, y su contrario,    \bar{A} , llamado fracaso.

2. El resultado de cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

3. La probabilidad de    A  , que denotamos por    p
 , no varía de una prueba a otra.

4. En cada experimento se realizan    n    pruebas idénticas.


Todo experimento aleatorio con estas características se dice que sigue el modelo de la distribución binomial.

A la variable   X , que representa el número de éxitos obtenidos en el experimento, se le llama variable aleatoria binomial.


Existen varias maneras de obtener   r   exitos en las   n   pruebas. Supongamos que lanzamos una moneda   n \, = \, 3   veces y calculemos la probabilidad del suceso "obtener 2 caras":   \left\{ </p> <pre> \, X \, = \, 2 \, </pre> <p>\right\} . ( Aqui el exito es que salga cara ). Existen tres posibilidades de que ocurra   \left\{ </p> <pre> \, X \, = \, 2 \, </pre> <p>\right\} :


\begin{array}[c]{cc} </p> <pre> 1^\circ: & \bar{A}AA \\ 2^\circ: & A\bar{A}A \\ 3^\circ: & AA\bar{A} </pre> <p>\end{array}


La diferencia entre estas tres posibilidades ( sucesos elementales ) es la prueba en que ocurre el fracaso. En el primer caso, el fracaso ocurre en la primera prueba; en el segundo caso ocurre en la segunda y en el tercer caso ocurre en la tercera.


Como estos sucesos son incompatibles, se tiene que:


\mathrm{P} \left( </p> <pre> \, X \, = \, 2 \, </pre> <p>\right) \, = \, \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, \bar{A}AA \, \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, A\bar{A}A \, \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, AA\bar{A} \, \right) </pre> <p>


Por otra parte,   \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, \bar{A}AA \, </pre> <p>\right) \, = \, \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, A\bar{A}A \, </pre> <p>\right) \, = \, \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, AA\bar{A} \, </pre> <p>\right) </p> <pre>\, = \, p^2 \cdot </pre> <p>\left( </p> <pre> \, 1 \, - \, p \, </pre> <p>\right) . Por ejemplo:


\mathrm{P} \left( </p> <pre> \, AA\bar{A} </pre> <p>\right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, A \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, A \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, \bar{A} \, \right) \, = \, p \cdot p \cdot \left( \, 1 \, - \, </p> <pre> p \, \right) </pre> <p>


donde la primera igualdad es cierta porque los resultados de las tres pruebas son independientes.


Así


\mathrm{P} \left( </p> <pre> \, X \, = \, 2 \, </pre> <p>\right) \, = \, 3 \cdot p^2 \cdot \left( </p> <pre> \, 1 \, - \, p \, </pre> <p>\right)


En general:


\mathrm{P} \left( </p> <pre> \, X \, = \, r \, </pre> <p>\right) \, = \, \left( </p> <pre> \, { n \atop r } </pre> <p>\right) \cdot p^r \cdot \left( </p> <pre> \, 1 \, - \, p \, </pre> <p>\right) ^ \left( </p> <pre> \, n \, - \, r \, </pre> <p>\right)


donde


\left( </p> <pre> { n \atop r } </pre> <p>\right) \, = \, \frac{n!}{r!\left( \, n \, - \, r \, \right)!}


es el número de sucesos elementales que componen el suceso   \left\{ </p> <pre> \, X \, = \, r \, </pre> <p>\right\}   ( estos sucesos elementales tienen en comun un mismo número de exitos y de fracasos y solo se diferencian en el orden en que ocurren los exitos y los fracasos ).


p^r \cdot \left( </p> <pre> \, 1 \, - \, p \, </pre> <p>\right) ^ \left( </p> <pre> \, n \, - \, r \, </pre> <p>\right)   es la probabilidad de cada uno de estos sucesos elementales.


Al ser la variable aleatoria binomial una variable aleatoria discreta, tiene asociadas una función de probabilidad y una función de distribución.


NOTA:   n!   es el factorial de   n ,   n! \, = \, n \cdot \left( \,n \, - \, 1 \, \right) \cdot \ldots 2 \cdot 1


Ejemplo


¿Cual es la probabilidad de que en una familia con 5 hijos, 3 sean chicos y 2 chicas?


En este caso el experimento aleatorio consiste de   n \, = \, 5   "pruebas". Cada una de estas pruebas es el nacimiento de un hijo. Supongamos que la probabilidad de que un hijo sea chico es de   p \, = \, 0,5 . Entonces, si   X   es el numero de hijos varones, se tiene que:


\mathrm{P} \left( </p> <pre> \, X \, = \, 3 \, </pre> <p>\right) \, = \, \left( </p> <pre> { 5 \atop 3 } </pre> <p>\right) \cdot 0,5^3 \cdot \left( </p> <pre> \, 1 \, - \, 0,5 \, </pre> <p>\right) ^ { </p> <pre> \left( \, 5 \, - \, 3 \, \right) </pre> <p>} \, = \, \frac{5!}{3!2!} \cdot 0,5^5 \, = \, 10 \cdot 0,5^5


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