Ángulo entre dos rectas
De Wikillerato
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en su ecuación, es decir: | en su ecuación, es decir: | ||
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multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano | multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano | ||
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- | \ | + | \pi_1 |
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por un vector perpendicular al plano | por un vector perpendicular al plano | ||
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- | \ | + | \pi_2 |
- | </math> | + | </math>. |
Un vector | Un vector | ||
<math> | <math> | ||
- | \mathbf{n} | + | \mathbf{n}_1 |
</math> | </math> | ||
perpendicular al plano | perpendicular al plano | ||
<math> | <math> | ||
- | \ | + | \pi_1 |
</math> | </math> | ||
lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuación del plano | lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuación del plano | ||
<math> | <math> | ||
\pi_1 | \pi_1 | ||
- | </math> | + | </math>: |
- | : | + | |
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | \mathbf{n} = \left( \, 1, \, -2, \, 3 \, \right) | + | \mathbf{n}_1 = \left( \, 1, \, -2, \, 3 \, \right) |
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
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<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
+ | \mathbf{v} = | ||
\left| | \left| | ||
\begin{array}{ccc} | \begin{array}{ccc} | ||
Línea 227: | Línea 225: | ||
2 & -1 & 0 | 2 & -1 & 0 | ||
\end{array} | \end{array} | ||
- | \right| = \left( \, 3, \, | + | \right| = \left( \, 3, \, 6, \, 3 \, \right) |
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
- | + | ||
+ | El ángulo que forman las rectas | ||
<math> | <math> | ||
- | + | r | |
</math> | </math> | ||
- | y | + | y |
<math> | <math> | ||
- | \mathbf{ | + | s |
- | </math> | + | </math> |
+ | es, por tanto | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \mathrm{arc} \cos \frac{\left| \, \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \, \right|}{\left| \, \mathbf{u} \, \right| | ||
+ | \cdot \left| \, \mathbf{v} \, \right|} = \mathrm{arc} \cos \frac{\left| \, \left( \, | ||
+ | 1, \, -1, \, 2 \, \right) \cdot \left( \, 3, \, 6, \, 3 \, \right) \, | ||
+ | \right|}{\sqrt{1^2 + \left( \, -1 \, \right)^2 + 2^2} \cdot \sqrt{3^2 + 6^2 + | ||
+ | 3^2}} = \mathrm{arc} \cos \frac{1}{6} | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
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Revisión actual
Ángulo entre dos rectas
El ángulo entre dos rectas
y
del espacio es el menor angulo entre las rectas que se obtienen al proyectar
y
en un mismo plano paralelo a ambas rectas.
Las rectas se proyectan en un mismo plano porque, en general,
no tienen porque encontrarse en un mismo plano ( no tienen porque ser
coplanarias ).
Dos rectas en el plano forman dos angulos, uno menor, llamemoslos, por ejemplo,
,
y otro mayor ( o igual ), que seria el suplementario de
,
.
El ángulo entre dos rectas
y
cuyos vectores directores son, respectivamente,
y
,
se puede calcular con la siguiente fórmula:
Calculando el arcocoseno del resultado obtenido aplicando la fórmula anterior se
obtiene el ángulo que forman las retas
y
.
Ejemplo
Calculemos el ángulo entre las rectas de ecuaciones
y
La recta
viene dada como la intersección de dos planos ( el plano
de ecuación
y el plano
de ecuación
).
Un vector director
de la recta
es el vector que multiplica al parametro
en su ecuación, es decir:
Podemos obtener un vector director
de la recta
multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano
por un vector perpendicular al plano
.
Un vector
perpendicular al plano
lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuación del plano
:
De la misma forma obtenemos un vector
perpendicular al plano
:
El producto vectorial de ambos vectores,
y
es
El ángulo que forman las rectas
y
es, por tanto