Puntos y rectas notables de los triángulos

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Tabla de contenidos

1 Puntos y rectas notables de los triángulos
2 Propiedades relativas a las rectas y puntos notables de los triángulos

Puntos y rectas notables de los triángulos

Las rectas y puntos notables de un triángulo $ABC$ son:

las mediatrices, $m_{AB}, \ m_{AC}, \ m_{BC}$ , que se cortan en un punto llamado circuncentro $C$ ,centro de la circunferencia circunscrita al triángulo;

las medianas, $n_A ,n_B , n_C$ , que se cortan en el baricentro, $B$ , centro de gravedad del triángulo;

las bisectrices, $b_A ,b_B , b_C$ , que se cortan en el incentro $I$ , centro de la circunferencia inscrita del triángulo;

las alturas, $h_A ,h_B , h_C$ , que se cortan en el ortocentro, $O \$ .

Las mediatrices

Las mediatrices de un triángulo acutángulo se cortarán siempre en un punto interior del triángulo, luego su circuncentro será interior al triángulo.

En el caso del triángulo rectángulo vemos que el circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa.

En el caso de un triángulo obtusángulo, el circuncentro es exterior al triángulo.

Las medianas

Las medianas se cortan siempre en un punto interior del triángulo.

El baricentro tiene una propiedad física importante: es el centro de gravedad del triángulo.

Si unimos los puntos medios de los lados del triángulo $ABC$ obtenemos el triángulo $MPN \$ que tiene el mismo baricentro que $ABC$ y sus medianas miden la mitad que las de $ABC$ .

Además los lados de $MPN \$ miden la mitad que los lados de $ABC$ y la superficie de $MPN \$ es la cuarta parte de la superficie de $ABC$ , pues podemos comprobar que al trazar $MPN \$ se han definido otros tres triángulos iguales: $BMP, PCN y AMN$ .

Consideramos una mediana $AP$ . Si $B$ es el baricentro se cumple que $AB = 2BP$ .

Se cumple también que si se dibuja $BY$ , la mediana de la mediana $AP$ , ésta corta al lado $AC$ siendo: $ZC=2AZ$ .

Las alturas

Las alturas de un triángulo acutángulo se cortan siempre en un punto interior del triángulo, luego su ortocentro es interior al triángulo.

En el caso de un triángulo obtusángulo, el ortocentro es exterior al triángulo.

En el caso del triángulo rectángulo vemos que el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto.

Las bisectrices

Las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo $ABC$ se cortan en un punto llamado incentro que siempre es interior al triángulo. Como el incentro $I$ pertenece a las tres bisectrices equidista de los tres lados y es el centro de la circunferencia inscrita a $ABC$ .

Para dibujar dicha circunferencia debemos hallar los puntos de tangencia sobre los lados. Basta con trazar una perpendicular desde $I$ a uno de ellos, por ejemplo al lado $c$ , obteniendo $Tc$ y, a continuación trasladar el resultado a cada uno de los lados del triángulo, como se ve en la figura, ya que $ATc=ATb, \ BTc=BTa$ y $CTa=CTb$ .

El teorema de la bisectriz dice que “la bisectriz de un ángulo interno corta al lado opuesto en partes proporcionales a los otros lados”.

Demostraremos este teorema al ocuparnos de la proporcionalidad directa.

Propiedades relativas a las rectas y puntos notables de los triángulos

Suma de vectores

En un triángulo $ABC$ , cuyo circuncentro es $C$ y su ortocentro es $O \$ , se verifica que el vector $CO$ es igual a la suma de los vectores $CA \ + \ CC \ + \ CB$ .

Triángulo órtico y circunferencia de Feuerbach

El triángulo $HaHbHc$ que tiene como vértices los pies de las alturas de un triángulo $ABC$ se llama triángulo órtico.

Las bisectrices del triángulo órtico de $ABC$ están en las mismas rectas que contienen a las alturas de dicho triángulo.

La circunferencia circunscrita al órtico de $ABC$ se llama circunferencia de Feuerbach o circunferencia de los nueve puntos ya que pasa también por los puntos medios de los lados de $ABC, \ M, \ N$ y $P$ y por los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro con los vértices de $ABC, \ X, \ Y$ y $Z$ .

Sea $HaHbHc$ es el triángulo órtico de un triángulo desconocido $ABC$ . Al hallar $ABC$ vamos a ver que existen cuatro soluciones, lo que indica que cada órtico y cada circunferencia de Feuerbach pueden pertenecer a cuatro triángulos distintos.

Dibujamos las bisectrices de $ABC$ , que coinciden con las alturas de $ABC$ . Trazamos por $Ha, Hb$ y $Hc$ perpendiculares a tales bisectrices, que son los lados del triángulo buscado, $ABC$ . Esta es la primera solución. Señalamos el ortocentro $O \$ y la circunferencia de Feuerbach.

Las otras soluciones son los tres triángulos obtusángulos que obtenemos al considerar como lados las alturas de $ABC$ , como $ABD$ , cuyo ortocentro coincide con el vértice $C$ . Las otras soluciones serían $ACD$ , con ortocentro en $B$ y $BCD$ , con ortocentro en $A$ .

Recta de Simson

Sea un triángulo $ABC$ y su circunferencia circunscrita. Si trazamos rectas perpendiculares a los lados de $ABC$ desde un punto arbitrario $P$ de la circunferencia, los pies de dichas perpendiculares están alineados en una recta que se llama recta de Simson.

Si unimos $P$ con el ortocentro de $ABC$ el punto medio $M$ del segmento obtenido está sobre la recta de Simson y sobre la circunferencia de Feuerbach de $ABC$ .

Recta de Euler

La recta definida por el circuncentro y el ortocentro de un triángulo $ABC$ se llama recta de Euler. La recta de Euler contiene también al baricentro y al centro de la circunferencia de Feuerbach, $X$ .

La distancia entre el baricentro y el circuncentro es la mitad de la distancia entre el baricentro y el ortocentro: $BC = BO/2$ .

El centro de la circunferencia de Feuerbach es el punto medio de $CO$ , segmento definido por el circuncentro y el ortocentro.

Propiedad de las mediatrices y las bisectrices

Sea un triángulo $ABC$ . La bisectriz de cada ángulo se corta con la mediatriz del lado opuesto en un punto de la circunferencia circunscrita.

Circunferencia exinscritas y exincentros de un triángulo

Trazamos las bisectrices de los ángulos exteriores de un triángulo $ABC$ .

Estas bisectrices serán perpendiculares en cada vértice a las bisectrices del ángulo interior del mismo, ya que los ángulos son suplementarios. Se cortarán dos a dos en tres puntos llamados exincentros que son los centros de las tres circunferencias exinscritas al triángulo.

Estas circunferencias son tangentes a las tres rectas definidas por los vértices $A, B \ y \ C$ .

El triángulo definido por los exincentros tiene como triángulo órtico a $ABC$ .

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Teorema de Feuerbach

El teorema de Feuerbach dice: “La circunferencia de Feuerbach de un triángulo $ABC$ es tangente común a la circunferencia inscrita y a las tres circunferencias exinscritas de $ABC$ ”.

Para comprobarlo trazamos dichas circunferencias y hallamos los puntos de tangencia respectivos uniendo ordenadamente sus centros.