Posiciones relativas de tres planos

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Tabla de contenidos

1 Introduccion
2 Casos que se pueden dar

Introduccion

Sean tres planos $\pi_1$ y $\pi_2$ y $\pi_3$ de ecuaciones:

$\pi_1: \, a_1 \cdot x \, + \, b_1 \cdot y \, + \, c_1 \cdot z \, + \, d_1 \, = \, 0$

$\pi_2: \, a_2 \cdot x \, + \, b_2 \cdot y \, + \, c_2 \cdot z \, + \, d_2 \, = \, 0$

$\pi_3: \, a_3 \cdot x \, + \, b_3 \cdot y \, + \, c_3 \cdot z \, + \, d_3 \, = \, 0$

Para determinar sus posiciones relativas, analizamos el sistema formado por las ecuaciones de los tres planos, cuyas matrices asociadas son:

$A \, = \, \left( <pre> \begin{array}[c]{ccc} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array} </pre> \right)$

$A | B \, = \, \left( <pre> \left. \begin{array}[c]{ccc} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array} \right| \begin{array}[c]{c} -d_1 \\ -d_2 \\ -d_3 \end{array} </pre> \right)$

Según el teorema de Rouché-Frobenius, se pueden los siguientes casos que pasamos a describir en la seccion siguiente.

Casos que se pueden dar

Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 3

El sistema de ecuaciones es compatible determinado, y tiene una única solución. Los planos tienen sólo un único punto común. Los planos se cortan en un punto.

Asi, los planos

$\pi_1: \, x \, = \, 1$

$\pi_2: \, y \, = \, 2$

$\pi_2: \, z \, = \, 3$

se cortan en el punto $\left( <pre> \, 1, \, 2, \, 3 \, </pre> \right)$ y

$\makebox{Rango} \left( <pre> \begin{array}[c]{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \, = \, \makebox{Rango} \left( \left. \begin{array}[c]{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right| \begin{array}[c]{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) </pre> = 3$

Rango ( A ) = 2, Rango ( A | B ) = 3

El sistema de ecuaciones es incompatible, no tiene solucion. Los tres planos no tienen ningún punto en comun.

Pueden presentarse dos situaciones distintas:

Subcaso 2.1

Los planos se cortan dos a dos según rectas paralelas. Entre los planos considerados no hay dos que sean paralelos. Por tanto, cada dos planos se cortan según una recta.

Subcaso 2.2

Dos planos paralelos cortados por el tercero.

Analizando las posiciones relativas de cada par de planos se cortan según una recta. Son planos.

Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 2

El sistema de ecuaciones es compatible indenterminado, y tiene infinitas soluciones. Los planos se cortan en una recta. Pueden presentarse en este caso dos situaciones distintas: