Lógica de clases

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Clases

Se entiende por clase una pluralidad o conjunto de individuos que tienen una misma propiedad o propiedades. Según el diagrama de la introducción a la lógica, en la lógica proposicional, hemos estudiado las oraciones o juicios, las proposiciones y los razonamientos. En la lógica de clases, nos ocupamos de los conceptos que designan un grupo de objetos con las mismas propiedades o características. Estos grupos de objetos, son las clases.

En el lenguaje formal las clases se representan con letras mayúsculas empezando por la $A$ .

Elementos de una clase

Cada uno de los objetos integrantes de una clase, es un elemento o miembro de la clase. La relación existente entre un elemento y la clase de la que es miembro, se llama relación de pertenencia, el elemento pertenece a la clase, se simboliza: [ $\in$ ]; este símbolo deriva de la palabra griega estí, que significa es. Por ejemplo Madrid pertenece a las capitales europeas. $Madrid \in C$ .

En general $x \in C$ , quiere decir que $x$ es un elemento de $C$ . Cuando quiero expresar que un elemento no pertenece a una clase, utilizo el símbolo: $\notin$ . Por ejemplo México $\notin C$ , quiere decir que México no pertenece a las capitales europeas.

Las clases se pueden definir por extensión y comprensión. Por extensión enumerando sus elementos; por comprensión expresando sus propiedades comunes. La comprensión expresa su definición en términos de idea o concepto, es decir el significado de la clase o del concepto. La extensión hace referencia a sus elementos o bien de forma total: $\forall x$ o bien de forma parcial: $\exists x$ .

Relaciones entre clases

1. Si todos los elementos de $A$ son también de $B$ y viceversa, las clases son idénticas o iguales: $A = B$ .

2. En el caso de que ningún elemento de $A$ sea elemento de $B$ y viceversa, las clases son disjuntas: Por ejemplo la clase de los madrileños y la de los sevillanos: $A \mid B \,$ .

3. Si ambas clases tienen al menos un elemento en común, se expresa así: $\exists x \in A \land \in B$ y también $\exists x \in A \land x \in B\,\,$ . El signo $\exists$ se llama cuantificador universal, quiere decir que hay al menos un elemento.

4. SI todos los elementos de la clase $A$ son también de la clase $B$ , pero no a la inversa, se dice que $A$ es una subclase de $B$ o que está incluida en $B$ . $\, A \subset B$ . Por ejemplo: Los alumnos de primero de la Educación Secundaria Obligatoria y los alumnos de todo el Colegio.

5. Una clase unitaria es una clase que sólo tiene un elemento. Ejemplo: Presidente o Presidenta del gobierno.

6. Clase vacía es la que no tiene ningún elemento. Se representa: $\varnothing$

Operaciones con clases

Las operaciones binarias y unarias entre clases tienen un paralelismo con las operaciones entre proposiciones, de la lógica proposicional. La definición de una operación de clases (como se muestra a la izquierda) se realiza, especificando los elementos que le pertenecen, mediante una operación de proposiciones (que se muestra a la derecha, entre corchetes)

Suma Lógica

$A\cup B\, [ x \in A \lor x \in B ]$

Ejemplo: Los gatos y los seres grises = Todos los gatos y todos los seres grises, elefantes, trajes etc.

Producto lógico

Son los elementos comunes entre ambas clases:

$A\,\cap B\, [ x \in A \land x \in B ]$

En el ejemplo anterior el producto lógico, son los gatos grises.

Diferencia lógica de clases

$A - B$ . Los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.

Los gatos que no son grises: $A - B\, [ x \in A \land x \notin B ]$

Diferencia simétrica de clases

Los elementos que pertenecen a $A$ y que pertenecen a $B$ pero no a ambos:

$A \Delta B \, [ x \in A \,\underline{\lor} \, x \in B ]$

Clase complementaria

Si establecemos una de las clases como la clase $U$ universal y tenemos otra $A$ , que es subclase de $U$ , la clase complementaria de $A$ , se define como la clase constituida por los elementos que pertenecen a $U$ y no pertenecen a $A$ :

$\overline{A}\, [x\in U \land x\notin A]$

Si tomamos como clase universal $U$ a los españoles y como clase $A$ , los habitantes de la comunidad de Madrid, la clase complementaria son todos los españoles que no viven en la comunidad de Madrid.

Leyes de la lógica de clases

Las más importantes son:

Idempotencia

$A \cup A \Leftrightarrow A\,$

$A \cap A \Leftrightarrow A\,$

Conmutativa

$A\cup B \Leftrightarrow B\cup A$

$A\cap B \Leftrightarrow B\cap A$

Asociativa

$A\cup (B \cup C)\Leftrightarrow (A\cup B) \cup C$

$A\cap (B \cap C)\Leftrightarrow (A\cap B) \cap C$

Distributiva

$A\cup (B \cap C)\Leftrightarrow (A\cup B) \cap (A \cup C)$

$A\cap (B \cup C)\Leftrightarrow (A\cap B) \cup (A \cap C)$

Identidad

$A\cup U \Leftrightarrow U$

$A\cap U \Leftrightarrow A$

$A\cup \varnothing \Leftrightarrow A$

$A\cap \varnothing \Leftrightarrow \varnothing$

Complementaridad

$A\cup \overline{A} \Leftrightarrow U$

$A\cap \overline{A} \Leftrightarrow \varnothing$

$\overline{U} \Leftrightarrow \varnothing$

$\overline{\varnothing} \Leftrightarrow U$

Doble Complementaridad

$\overline{\overline{A}} \Leftrightarrow A$

Leyes de Absorción

$A\cup (A \cap B)\Leftrightarrow A$

$A\cap (A \cup B)\Leftrightarrow A$

Leyes de De Morgan

$\overline{A \cup B} \Leftrightarrow \overline{A} \cap \overline{B}$

$\overline{A \cap B} \Leftrightarrow \overline{A} \cup \overline{B}$

Las demostraciones de estas leyes se realizan por las tablas de pertenencia, semejantes a las tablas de verdad en la Lógica proposicional:

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]	[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]	$A \cap B$	$A - B$	$A \Delta B$	$A$	$\overline{A}$
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]	[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]	[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]	[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]	[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]	[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]	[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
$\in \, \notin$	$\in$	$\notin$	$\in$	$\in$	$\notin$	$\in$
$\notin \, \in$	$\in$	$\notin$	$\in$	$\in$
$\notin \, \notin$	$\notin$	$\notin$	$\in$	$\notin$

Puede verse el isomorfismo entre la suma lógica de clases y la disyunción de proposiciones, así como del producto lógico y la conjunción. La diferencia simétrica con la disyunción exclusiva y entre la clase complementaria y la negación

Identidad de clases y tablas de pertenencia

Podemos averiguar si dos clases son idénticas usando las tablas de pertenencia.

Ejemplos:

Queremos saber si son idénticas: $A \cup (\overline{A}\cup B)$ y $\overline{\overline{A}\cup \overline{B}}$

Primero hallamos la tabla de pertenencia de la primera expresión:

$A\, B$	$\overline{A}$	$\overline{A} \cup B$	$A \cup (\overline{A}\cup B)$
$\in \, \in$	$\notin$	$\notin$	$\in$
$\in \, \notin$	$\notin$	$\notin$	$\in$
$\notin \, \in$	$\in$	$\in$	$\in$
$\notin \, \notin$	$\in$	$\notin$	$\notin$

Y ahora la segunda:

$A\, B$	$\overline{A}$	$\overline{B}$	$\overline{A}\cap \overline{B}$	$\overline{\overline{A}\cup \overline{B} }$
$\in \, \in$	$\notin$	$\notin$	$\notin$	$\in$
$\in \, \notin$	$\notin$	$\in$	$\notin$	$\in$
$\notin \, \in$	$\in$	$\notin$	$\notin$	$\in$
$\notin \, \notin$	$\notin$	$\in$	$\in$	$\notin$

Las clases del ejemplo son idénticas, ya que tienen la misma tabla de pertenencia.

También podemos demostrar la identidad de dos clases recurriendo a un proceso de transformación basado en leyes lógicas:

$(A \cup B) \cap (\overline{A \cap B}) \Leftrightarrow (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)$

Procedemos de la siguiente manera:

$(A \cup B) \cap (\overline{A \cap B}) \Leftrightarrow (A \cup B) \cap (\overline{A} \cup \overline{B})$ , por la ley de Morgan para el producto lógico.

$(A \cup B) \cap (\overline{A} \cup \overline{B})\Leftrightarrow[(A \cup B)\cap \overline{A} ] \cup [(A \cup B)\cap \overline{B}]$ , por la ley distributiva del producto lógico.

$[(A \cup B)\cap \overline{A} ] \cup [(A \cup B)\cap \overline{B}]\Leftrightarrow [(A \cap \overline{A})\cup (B \cap \overline{A})] \cup [(A \cap \overline{B})\cup (B \cap \overline{B})]$ por la ley distributiva del producto lógico.

$[(A \cap \overline{A})\cup (B \cap \overline{A})]\cup [(A \cap \overline{B})\cup (B \cap \overline{B})]\Leftrightarrow [\varnothing \cup (B \cap \overline{A})] \cup [A \cap \overline{B})\cup \varnothing]$ , por una ley de complementariedad.

$[\varnothing \cup (B \cap \overline{A})] \cup [A \cap \overline{B})\cup \varnothing]\Leftrightarrow (B \cap \overline{A})\cup(A \cap \overline{B})$ , por una ley de identidad.

$(B \cap \overline{A})\cup(A \cap \overline{B})\Leftrightarrow (A \cap \overline{B})\cup (B \cap \overline{A})$ , por la ley conmutativa de la suma lógica.

$(A \cap \overline{B})\cup (B \cap \overline{A})\Leftrightarrow (A \cap \overline{B})\cup (A \cap \overline{B})$ , por la ley conmutativa del producto lógico.

Estas dos clases, son idénticas.

Representación gráfica de clases mediante los diagramas de Euler – Venn

Las clases se representan por un círculo:

Las clases disjuntas:

Clases distintas:

Inclusión:

Representación de operaciones

Suma lógica: $A\cup B$

Producto lógico: $A\cap B$

Diferencia lógica: $A - B$

Diferencia simétrica: $A\Delta B$

Clase complementaria: $\overline A$

El silogismo en la lógica de clases

El silogismo es un razonamiento deductivo en el que partiendo de dos o más premisas, se llega a la conclusión que se deriva necesariamente de ellas. Fue formulado por primera vez por Aristóteles en su gran obra de Lógica a la que llamó Organon.

Todos los hombres son mortales.
Sócrates es hombre.
Luego Sócrates es mortal.

También puede haber silogismos inválidos, por ejemplo:

Todos los españoles son simpáticos.
Ningún francés es español.
Luego ningún francés es simpático.

Como se advierte, no hay conexión entre las premisas y la conclusión.

El silogismo y los diagramas de Euler-Venn

Las premisas que constituyen los silogismos pueden ser de cuatro tipos: (A) Universales afirmativas, (E) universales negativas, (I) particulares afirmativas y (O) particulares negativas:

A	Universal afirmativa	Todos los $S$ Son $P$	Todos los hombres son mortales
E	Universal negativa	Ningún $S$ es $P$	Ningún hombre es mortal
I	Particular afirmativa	Algún $S$ es $P$	Algún hombre es mortal
O	Particular negativa	Algún $S$ no es $P$	Algún hombre no es mortal

Para representar estas proposiciones en diagramas, es necesario traducirlas al lenguaje de la lógica de clases:

(A) Universal afirmativa, "Todos los $S$ son $P$ " $[ S\subset P] \,$ , es decir que la clase de los $S$ que no está incluida en $P$ es una clase vacía. En los diagramas, la clase vacía se simboliza mediante un coloreado rosa, según se observa:

(E) Universal negativa, "Ningún $S$ es $P$ ", quiere decir que la clase constituida por los elementos comunes a la clase $S$ y a la clase $P$ , el producto lógico entre ambos es una clase vacía, que se simboliza por un coloreado rosa: $S\cap P = \varnothing$

(I) Particular positiva, "Algún $S$ es $P$ ", quiere decir que la clase formada por los elementos comunes a la clase $S$ y a la clase $P$ no es vacía, su producto lógico no es una clase vacía. La clase no vacía se simboliza con una cruz rosa:

(O) Particular negativa, "Algún $S$ no es $P$ ", afirma que la clase de los $S$ que no pertenecen a $P$ no es una clase vacía; por tanto también se simboliza con una cruz en color rosa:

En el siguiente razonamiento:

Todos los felinos son animales. Los leones son felinos. Luego los leones son animales.

Simbolización:

$F$ = felinos.

$A$ = animales.

$L$ = leones.

$F \subset A$

$L \subset F$

$\vdash F \subset A$

Fácilmente se comprueba su validez debido a la transitividad de la inclusión.

Las leyes lógicas se aplican mejor cuando las premisas son más complejas:

1.Nadie al mismo tiempo sabe tocar la guitarra y lee novelas.

2.Quien no tienen un traje es socio de un club de baloncesto.

3.Quien tiene un Mp3, no se corta el pelo.

4.Nadie que sea miembro de un club de baloncesto, lee novelas.

5.Todo el que es risueño, se corta el pelo.

6.Todos los que no saben tocar la guitarra, tiene Mp3.

¿Se puede obtener alguna conclusión?

Pasamos a simbolizar las premisas:

$A$ = los que tocan la guitarra.

$L$ = los que leen novelas.

$T$ = los que tienen traje.

$S$ = los socios de un club de baloncesto.

$R$ = los risueños.

$H$ = los que tienen Mp3.

$P$ = los que se cortan el pelo.

$A \cap \overline{L} = \varnothing$

$\overline{T} \subset S$

$H \cap P$

$S \cap L = \varnothing$

$R \subset P$

$\overline{A} \subset H$

Expresamos ahora las premisas utilizando la inclusión para poder aplicar la ley de la transitividad:

$A \subset L$

$\overline{S} \subset T$

$H \subset \overline{P} = P \subset \overline {H}$

$S \subset \overline{L} = L \subset \overline {S}$

$R \subset P$

$\overline{H} \subset A$

Ordenándolos correctamente nos queda:

$R \subset P$

$P \subset \overline{H}$

$\overline{H} \subset A$

$A \subset L$

$L \subset \overline{S}$

$S \subset T$

Luego la conclusión será: $R \subset T\quad$ o Los risueños tienen traje.

Veamos ahora un texto de Bertrand Russel sobre la comprensión y la extensión de las clases. Es un texto un poco difícil, pero muy interesante:

“Explicar claramente lo que se entiende por “clase”, y distinguir esta noción de todas las demás con las que se halla relacionada, es uno de los problemas más importantes y difíciles de la Filosofía matemática. Además de que “clase” es un concepto muy fundamental, se requieren un cuidado y diligencia máximos…

Se acostumbra, en todos los trabajos de Lógica, a distinguir dos puntos básicos, el de extensión y el de comprensión. Generalmente los filósofos han considerado al último dotado de mayor importancia, mientras que se considera que la Matemática trabaja especialmente con el primero. M. Couturat, en su admirable trabajo sobre Leibniz, dice rotundamente que la Lógica simbólica sólo puede construirse asándose en la extensión; y si sólo existieran estos dos puntos de vista, su afirmación se hallaría justificada. Pero en realidad, hay posiciones intermedias entre la comprensión y la extensión puras, y es en ellas donde la Lógica simbólica tiene sus lares. Es esencial el que las clases a las que nos referimos estén formadas por términos, y no sean predicados o conceptos, pues una clase puede definirse cuando se dan sus términos…Por supuesto que no podemos intentar una definición comprensiva de clase como la clase de los predicados que se unen a los términos en cuestión y a ningún otro, porque esto traería aparejado un círculo vicioso; por lo que el punto de vista de la extensión es, hasta cierto punto inevitable. Por otra parte, si tomamos extensión pura, nuestra clase se hallará definida por la enumeración de sus términos, y este método no nos permitiría trabajar como lo hace la Lógica simbólica, con clases infinitas. De este modo, nuestras clases deben considerarse, en general, como objetos denotados por conceptos, y en este sentido es esencial el punto de vista de la comprensión”.

Los principios de la matemática. (Bertrand Russel. Editorial Espasa-Calpe, Madrid, Tercera Edición, 1977 p. 97 – 98).

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Categoría: Filosofía