Lógica de clases

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 10:13 16 abr 2007

Tabla de contenidos

1 Clases
2 Elementos de una clase
3 Relaciones entre clases
4 Operaciones con clases

Clases

Se entiende por clase una pluralidad o conjunto de individuos que tienen una misma propiedad o propiedades. Según el diagrama de la introducción a la lógica, en la lógica proposicional, hemos estudiado las oraciones o juicios, las proposiciones y los razonamientos. En la lógica de clases, nos ocupamos de los conceptos que designan un grupo de objetos con las mismas propiedades o características. Estos grupos de objetos, son las clases.

En el lenguaje formal las clases se representan con letras mayúsculas empezando por la $A$ .

Elementos de una clase

Cada uno de los objetos integrantes de una clase, es un elemento o miembro de la clase. La relación existente entre un elemento y la clase de la que es miembro, se llama relación de pertenencia, el elemento pertenece a la clase, se simboliza: [ $\in$ ]; este símbolo deriva de la palabra griega estí, que significa es. Por ejemplo Madrid pertenece a las capitales europeas. $Madrid \in C$ .

En general $x \in C$ , quiere decir que $x$ es un elemento de $C$ . Cuando quiero expresar que un elemento no pertenece a una clase, utilizo el símbolo: $\notin$ . Por ejemplo México $\notin C$ , quiere decir que México no pertenece a las capitales europeas.

Las clases se pueden definir por extensión y comprensión. Por extensión enumerando sus elementos; por comprensión expresando sus propiedades comunes. La comprensión expresa su definición en términos de idea o concepto, es decir el significado de la clase o del concepto. La extensión hace referencia a sus elementos o bien de forma total: $\forall x$ o bien de forma parcial: $\exists x$ .

Relaciones entre clases

1. Si todos los elementos de $A$ son también de $B$ , las clases son idénticas o iguales: $A = B$ .

2. En el caso de que ningún elemento de $A$ sea elemento de $B$ y viceversa, las clases son disjuntas: Por ejemplo la clase de los madrileños y la de los sevillanos: $A \mid B \,$ .

3. Si ambas clases tienen al menos un elemento en común, se expresa así: $\exists x \in A \land \in B$ y también $\exists x \in A \land x \in B\,\,$ . El signo $\exists$ se llama cuantificador universal, quiere decir que hay al menos un elemento.

4. Todos los elementos de la clase $A$ son también de la clase $B$ , Pero no a la inversa. $A$ es una subclase de $B$ o está incluida en $B$ . $\, A \subset B$ . Por ejemplo: Los alumnos de primero de la Educación Secundaria Obligatoria y los alumnos de todo el Colegio.

5. Clase unitaria es la que sólo tiene un elemento. Ejemplo: Presidente o Presidenta del gobierno.

6. Clase vacía es la que no tiene ningún elemento. Se representa: $\varnothing$

Operaciones con clases

Si tenemos varias clases, se puede establecer entre ellas varias operaciones semejantes a la lógica proposicional.

Suma Lógica

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Ejemplo: Los gatos y los seres grises = Todos los gatos y todos los seres grises, elefantes, trajes etc.

Producto lógico

Son los elementos comunes entre ambas clases:

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

En el ejemplo anterior el producto lógico, son los gatos grises.

Diferencia lógica de clases

$A - B$ . Los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.

Los gatos que no son grises: $A - B\, [ x \in A \land x \notin B ]$

Diferencia simétrica de clases

Los elementos que pertenecen a $A$ y que pertenecen a $B$ pero no a ambos:

$A \Delta B \, [ x \in A \,\underline{\lor} \, x \in B ]$

Clase complementaria

Si establecemos la clase $U$ universal y otra $A$ , que es subclase de $U$ , la clase complementaria de $A$ , es la clase constituida por los elementos que pertenecen a $U$ y no pertenecen a $A$ :

$\overline{A}\, [x\in U \land x\notin A]$

Si tomamos como clase universal $U$ a los españoles y como clase $A$ , los habitantes de la comunidad de Madrid, la clase complementaria son todos los españoles que no viven en la comunidad de Madrid.

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