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Ángulo doble y ángulo mitad

De Wikillerato

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Teniendo en cuenta que &nbsp;
Teniendo en cuenta que &nbsp;
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\, \alpha \,
\, \alpha \,
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\, + \, \mathrm{cos}^2
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\, \alpha \,
\, \alpha \,
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+
\, = \, 1
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, deducimos que:
, deducimos que:
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\mathrm{cos}
\mathrm{cos}
\left(
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\, \alpha \, + \alpha \,
+
\, 2 \cdot \alpha \,
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\, = \, \mathrm{cos}
\, = \, \mathrm{cos}
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\, - \,
\, - \,
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\, 1 \, - \, \mathrm{cos}
+
\, 1 \, - \, \mathrm{cos}^2
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\, \alpha \,
+
\, \alpha \,
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\cdot \mathrm{cos}
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\left(
+
\, = \, 2 \cdot \mathrm{cos}^2
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\, \alpha \,
+
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\right)
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\, = \,
+
\, - \, 1
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Según lo que se explica en la sección sobre [[Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos|razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos]]:
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\, \alpha \,
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\mathrm{cos}
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\, \alpha \,
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Por tanto
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\, 2 \cdot \alpha \,
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Si en las dos igualdades obtenidas:
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\mathrm{cos} \left( \, 2 \alpha \, \right) \, & = & \, 2 \cdot
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\mathrm{cos}^2 \left( \, \alpha \, \right) \, - \, 1
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sustituimos &nbsp;
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, obtenemos:
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\mathrm{cos} \left( \, \alpha \, \right) \, & = & \, 2 \cdot \mathrm{cos}^2
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\, - \, 1
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\, \frac{\alpha}{2} \,
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Si consideramos el anterior par de igualdades como un sistema de ecuaciones cuyas
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incógnitas son &nbsp;
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\, \frac{\alpha}{2} \,
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&nbsp; y &nbsp;
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\, \frac{\alpha}{2} \,
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&nbsp; y resolvemos ese sistema de ecuaciones, se llega a las siguientes igualdades:
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\, \frac{\alpha}{2} \,
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\, = \, \pm \sqrt{\frac{1 \, + \, \mathrm{cos} \left( \, \alpha \, \right)}{2}}
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\mathrm{sen}
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\left(
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\, \frac{\alpha}{2} \,
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\, = \, \pm \sqrt{\frac{1 \, - \, \mathrm{cos} \left( \, \alpha \, \right)}{2}}
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En ambos casos se elige el signo de la raíz [[Razones trigonométricas|en función de en qué cuadrante]] esté &nbsp;
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\frac{\alpha}{2}
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[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]

Revisión actual

Como se explica en la sección sobre las razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos:


\mathrm{cos} \left( </p> <pre> \, \alpha \, + \alpha \, </pre> <p>\right) </p> <pre>\, = \, \mathrm{cos} </pre> <p>\left( </p> <pre> \, \alpha \, </pre> <p>\right) \cdot \mathrm{cos} \left( </p> <pre> \, \alpha \, </pre> <p>\right) </p> <pre>\, - \, </pre> <p>\mathrm{sen} \left( </p> <pre> \, \alpha \, </pre> <p>\right) \cdot \mathrm{sen} \left( </p> <pre> \, \alpha \, </pre> <p>\right)


Teniendo en cuenta que   \mathrm{sen}^2 \left( </p> <pre> \, \alpha \, </pre> <p>\right) \, + \, \mathrm{cos}^2 \left( </p> <pre> \, \alpha \, </pre> <p>\right) \, = \, 1 , deducimos que:


\mathrm{cos} \left( </p> <pre> \, 2 \cdot \alpha \, </pre> <p>\right) </p> <pre>\, = \, \mathrm{cos} </pre> <p>\left( </p> <pre> \, \alpha \, </pre> <p>\right) \cdot \mathrm{cos} \left( </p> <pre> \, \alpha \, </pre> <p>\right) </p> <pre>\, - \, \left( \, 1 \, - \, \mathrm{cos}^2 \left( \, \alpha \, \right) \right) \, = \, 2 \cdot \mathrm{cos}^2 \left( \, \alpha \, \right) </pre> <p>\right) \, - \, 1


Según lo que se explica en la sección sobre razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos:


\mathrm{sen} \left( </p> <pre> \, \alpha \, + \alpha \, </pre> <p>\right) </p> <pre>\, = \, \mathrm{sen} </pre> <p>\left( </p> <pre> \, \alpha \, </pre> <p>\right) \cdot \mathrm{cos} \left( </p> <pre> \, \alpha \, </pre> <p>\right) </p> <pre>\, + \, </pre> <p>\mathrm{cos} \left( </p> <pre> \, \alpha \, </pre> <p>\right) \cdot \mathrm{sen} \left( </p> <pre> \, \alpha \, </pre> <p>\right)


Por tanto


\mathrm{sen} \left( </p> <pre> \, 2 \cdot \alpha \, </pre> <p>\right) </p> <pre>\, = \, 2 \cdot \mathrm{sen} </pre> <p>\left( </p> <pre> \, \alpha \, </pre> <p>\right) \cdot \mathrm{cos} \left( </p> <pre> \, \alpha \, </pre> <p>\right)


Si en las dos igualdades obtenidas:


\left\{ </p> <pre> \begin{array}[c]{rcl} \mathrm{cos} \left( \, 2 \alpha \, \right) \, & = & \, 2 \cdot \mathrm{cos}^2 \left( \, \alpha \, \right) \, - \, 1 \\ & & \\ \mathrm{sen} \left( \, 2 \alpha \, \right) \, & = & \, 2 \cdot \mathrm{sen} \left( \, \alpha \, \right) \cdot \mathrm{cos} \left( \, \alpha \, \right) \end{array} </pre> <p>\right.


sustituimos   \alpha   por   \frac{\alpha}{2} , obtenemos:


\left\{ </p> <pre> \begin{array}[c]{rcl} \mathrm{cos} \left( \, \alpha \, \right) \, & = & \, 2 \cdot \mathrm{cos}^2 \left( \, \frac{\alpha}{2} \, \right) \right) \, - \, 1 \\ & & \\ \mathrm{sen} \left( \, \alpha \, \right) \, & = & \, 2 \cdot \mathrm{sen} \left( \, \frac{\alpha}{2} \, \right) \cdot \mathrm{cos} \left( \, \frac{\alpha}{2} \, \right) </pre> <p>\end{array} \right.


Si consideramos el anterior par de igualdades como un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas son   \mathrm{sen} \left( </p> <pre> \, \frac{\alpha}{2} \, </pre> <p>\right)   y   \mathrm{cos} \left( </p> <pre> \, \frac{\alpha}{2} \, </pre> <p>\right)   y resolvemos ese sistema de ecuaciones, se llega a las siguientes igualdades:


\mathrm{cos} \left( </p> <pre> \, \frac{\alpha}{2} \, </pre> <p>\right) \, = \, \pm \sqrt{\frac{1 \, + \, \mathrm{cos} \left( \, \alpha \, \right)}{2}}


\mathrm{sen} \left( </p> <pre> \, \frac{\alpha}{2} \, </pre> <p>\right) \, = \, \pm \sqrt{\frac{1 \, - \, \mathrm{cos} \left( \, \alpha \, \right)}{2}}


En ambos casos se elige el signo de la raíz en función de en qué cuadrante esté   \frac{\alpha}{2} .


Obtenido de "http://wikillerato.org/%C3%81ngulo_doble_y_%C3%A1ngulo_mitad.html"
   
 
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