Posiciones relativas de dos rectas

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)

Saltar a navegación, búsqueda

Revisión de 13:34 7 sep 2007

Tabla de contenidos

1 Introducción
2 Casos que se pueden dar:

Introducción

Dos rectas pueden adoptar en el espacio las cuatro posiciones relativas siguientes:

1. Coincidentes.

2. Paralelas.

3. Secantes.

4. Rectas que se cruzan.

Supongamos que tenemos dos rectas $r$ y $s$ que vienen dadas como interseccion de dos planos:

$r: \left\{ <pre> \begin{array}[c]{rcl} a_1 \cdot x \, + \, b_1 \cdot y \, + \, c_1 \cdot z \, + \, d_1 \, = \, 0 \\ a_2 \cdot x \, + \, b_2 \cdot y \, + \, c_2 \cdot z \, + \, d_2 \, = \, 0 \end{array} </pre> \right. \qquad s: \left\{ <pre> \begin{array}[c]{rcl} a_3 \cdot x \, + \, b_3 \cdot y \, + \, c_3 \cdot z \, + \, d_3 \, = \, 0 \\ a_4 \cdot x \, + \, b_4 \cdot y \, + \, c_4 \cdot z \, + \, d_4 \, = \, 0 \end{array} </pre> \right.$

Para determinar su posición relativa en el espacio tendremos que analizar el sistema formado por las ecuaciones de los cuatro planos, cuyas matrices asociadas son:

$A \, = \, \left( <pre> \begin{array}[c]{ccc} a_1 & b_1 $ c_1 \\ a_2 & b_2 $ c_2 \\ a_3 & b_3 $ c_3 \\ a_4 & b_4 $ c_4 \\ \end{array} </pre> \right) \qquad \mathrm{y} \qquad A | B \, = \, \left( <pre> \left. \begin{array}[c]{ccc} a_1 & b_1 $ c_1 \\ a_2 & b_2 $ c_2 \\ a_3 & b_3 $ c_3 \\ a_4 & b_4 $ c_4 \\ \end{array} \right| \begin{array}[c]{ccc} -d_1 \\ -d_2 \\ -d_3 \\ -d_4 \\ \end{array} </pre> \right)$

Las dos primeras filas de $A$ son linealmente independientes, ya que ambos planos determinan una recta. Por tanto, Rango ( A ) $\ge 2$ y Rango ( A | B ) $\ge 2$ . Según el teorema de Rouché-Frobenius, se pueden presentar los casos que describimos a continuacion.

Casos que se pueden dar:

Coincidentes: Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 2

El sistema de ecuaciones es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones. Las rectas tienen todos sus puntos comunes. Son rectas coincidentes.

Paralelas: Rango ( A ) = 2, Rango ( A | B ) = 3

El sistema es incompatible, no tiene solución. Las rectas no tienen ningún punto en común, pero como Rango ( A ) = 2, las rectas son coplanarias ( estan en el mismo plano ). Son rectas paralelas.

tonto weon teni que caxar mas po ctm ...imbecil

Secantes: Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 3

El sistema de ecuaciones es compatible determinado, tiene una solución única. Las rectas tienen un solo punto común, que es el punto de corte. Son rectas secantes.

Rectas que se cruzan: Rango ( A ) = 3, Rango ( A | B ) =4

El sistema es incompatible, no tiene solucion. No tienen ningún punto en común, y como Rango ( A ) = 3, las rectas no son coplanarias ( no estan contenidas en un mismo plano ). Son rectas que se cruzan.

Otro procedimiento para determinar la posicion relativa de dos rectas es el siguiente:

1. Obtenemos dos vectores directores $\vec{\mathbf{u}}$ y $\vec{\mathbf{v}}$ de ambas rectas ( uno de cada recta ).

2. Si estos son paralelos entonces las rectas son coincidentes o paralelas. Para saber si son coincidentes o paralelas, hallamos un punto en una de las rectas y comprobamos si esta en la otra: si esta, entonces las rectas son coincidentes, si no esta, las rectas son paralelas.

3. Si $\vec{\mathbf{u}}$ y $\vec{\mathbf{v}}$ no son paralelos, entonces las rectas son secantes o se cruzan. En este caso, juntariamos las ecuaciones de las dos rectas y resolveriamos el sistema resultante: si no tiene solucion, las rectas se cruzan, si tiene solucion, las rectas son secantes.

Este procedimiento no requiere que las rectas esten dadas como interseccion de dos planos paralelos.

Obtenido de "http://wikillerato.org/Posiciones_relativas_de_dos_rectas.html"

Categoría: Matemáticas