Energía de un oscilador armónico

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 11:37 17 sep 2007

Tabla de contenidos

1 Introducción
2 Parámetros del movimiento oscilatorio
3 Ecuación del movimiento oscilatorio
4 Velocidad y aceleración del m.o.a
5 Relación entre los parámetros

Introducción

Cuando deformamos el resorte una longitud $A$ con respecto a la posición de equilibrio, la fuerza recuperadora del resorte será $F = - k A$ . Cuando el resorte está en equilibrio, la fuerza recuperadora suplementaria es cero.

La energía que es capaz de desarrollar el resorte es:

$W =\vec F \cdot \vec {\Delta (x-x_0)} = F \Delta (x-x_0) cos \theta$

Donde $\theta$ es el ángulo formado por $F$ e $\Delta (x -x_0)$ , que en nuestro caso, dado que la $F$ y la deformación tienen siempre sentidos opuestos, el ángulo es $\pi$ , y como $cos \pi = -1$ . Como por otra parte el valor máximo de $\Delta (x -x_0)$ es $A$ , la ecuación de la energía del oscilador será: $W = - FA$

La fuerza es variable, y varía entre los valores $-k A$ y $0$ . Esta variación es lineal y, en consecuencia podremos sustituirla en la ecuación por su valor medio, que será la semisuma de los valores máximo $-k A$ y mínimo, $0$ . $F = \frac{- kA +0}{2} = \frac {-k A}{2}$

La energía máxima del resorte será:

$W = - \frac{-k A}{2}\ A = \frac{1}{2}\ k A^2$

Es decir, la energía sólo depende de la constante de elasticidad del resorte y de la distancia a la posición de equilibrio. Y es, en los extremos, una energía potencial elástica.

Cuando estiramos el resorte una longitud $A$ y soltamos, el resorte comienza a moverse, desde una velocidad cero, en los extremos, puesto que pasa de $v>0$ a $v<0$ y viceversa, a un valor máximo cuando el resorte pasa por la posición de equilibrio.

La energía asociada al movimiento es la energía cinética, y será, al pasar por la posición de equilibrio, igual a la energía potencial máxima, tendremos

$E_c_{max} = \frac{1}{2} m v_{max^2} = \frac{1}{2} k A^2$

Pero el oscilador, en su movimiento, pasará por una posición $x$ en la cual llevará una velocidad $v$ , y la ecuación de la energía del movimiento nos quedará

$\frac{1}{2} k A^2 \eqslantless \frac{1}{2} k x^2 + \frac{1}{2} m v^2$

Es decir, la energía total se conserva y es igual, en cada instante, a la suma de la energía potencial y de la energía cinética

En todo caso, no debemos olvidar nunca que siempre ha de cumplirse la segunda ley de Newton

$F = - k x = m a$

De donde obtenemos que $a = - \frac{k}{m} x$

Es decir, la aceleración es proporcional a la distancia a la posición de equilibrio pero con sentido opuesto.

Parámetros del movimiento oscilatorio

Amplitud, $A$ , es la distancia máxima a la posición de equilibrio de la que partimos.

Elongación, es la distancia del extremo libre del resorte, en un instante $t$ , a la posición de equilibrio.

En el SI todas las longitudes vendrán expresadas en metros.

Periodo, $T$ , es el tiempo que tarda el resorte en describir una oscilación completa, es decir, cuando ha recorrido desde $A 0 (-A) 0 A$ . Se mide en segundos.