Concepto de velocidad

De Wikillerato

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Revisión de 04:57 19 oct 2007

Tabla de contenidos

1 Velocidad media
2 Velocidad instantánea
- 2.1 Movimiento sobre una recta
- 2.2 Movimiento sobre un plano

Velocidad media

La velocidad se puede se puede definir como la variación temporal de la posición del punto material

$\vec v = \frac{ \Delta \vec r}{ \Delta t } = \frac { \vec r_Q - \vec r_P }{\Delta t }$

Este cociente nos define lo que llamamos velocidad media. Si consideramos que

$\vec r = r_x\vec i + r_y\vec j + r_z \vec k$

$\vec v= \frac{\Delta \vec r}{\Delta t } = \frac {\Delta r_x}{ \Delta t }\vec i + \frac{\Delta r_y}{ \Delta t }\vec j + \frac{\Delta r_z}{ \Delta t }\vec k$

Si pretendemos calcular la velocidad entre dos instantes definidos por $\Delta t$ , obtenemos:

$\vec v = \frac { \vec r (t + \Delta t) - \vec r (t)}{ \Delta t}$

Velocidad instantánea

Hemos definido la velocidad media, y la hemos definido intuitivamente. Hemos trazado el vector que va desde la posición inicial a la posición final, cuya dirección siempre coincide con la cuerda que une esos dos puntos. Si hacemos cada vez más breves los intervalos de tiempo, la dirección de las cuerdas, y en consecuencia las de los vectores desplazamiento, se van aproximando a la dirección de la tangente a la trayectoria. Si pretendemos determinar la velocidad del móvil en un instante preciso, que denominaremos velocidad instantánea en el instante $t$ , observamos que su dirección coincidirá con la de la tangente a la trayectoria en cada instante.

Y podremos calcular la velocidad en un instante t:

$\vec v= \lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta \vec r }{\Delta t } = \lim_{\Delta t\to 0} \frac {\Delta r_x }{\Delta t}\vec i + \lim_{\Delta t\to 0} \frac {\Delta r_y }{\Delta t}\vec j + \lim_{\Delta t\to 0} \frac {\Delta r_z }{\Delta t}\vec k$

y en consecuencia:

$\vec v = \frac{ d \vec r}{ dt } = \frac{d r_x}{ dt }\vec i + \frac {d r_y}{ dt } \vec j + \frac {d r_z}{ dt }\vec k$

o lo que es igual :

$\vec v = v_x\vec i + v_y\vec j + v_z\vec k$

La velocidad instantánea es una magnitud vectorial cuya dirección coincide siempre con la de la tangente a la trayectoria y su sentido el del movimiento. Al módulo se le llama rapidez, que es una magnitud escalar.

En el S.I. el módulo se mide en $m s^{-1}$ , aunque en la práctica en la Europa continental se hable más frecuentemente de $km/h$ .

Ese módulo se obtendrá hallando la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes, es decir:

$v = \sqrt{ v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$

Podremos particularizar para los movimientos más estudiados en este curso, que son los movimientos sobre la recta o sobre un plano.

Movimiento sobre una recta

$\vec v = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta\vec x}{\Delta t} =\frac{d\vec x}{dt}$

Sin embargo, dado que tanto el $\vec v$ como el $\vec x$ tienen la misma dirección, se podrá dar al problema un tratamiento escalar, es decir:

$v = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} =\frac{dx}{dt}$

de tal modo que el sentido positivo del movimiento sobre la recta nos vendrá dado por el signo que adquiera $\Delta x$ o la velocidad en la ecuación.

Movimiento sobre un plano

$\vec v = v_x\vec i + v_y\vec j$

$\vec v = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t} \vec i + \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta t} \vec j$

Como se verá en su momento, el moviendo sobre el plano, podrá estudiarse analizando de modo independiente las variaciones de las componentes $r_x$ y $r_y$ del vector posición de la partícula $\vec r$ , que nos informarán acerca de las componentes $v_x$ y $v_y$ vector velocidad $\vec v$ .