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Proporcionalidad directa

De Wikillerato

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===Características generales===
===Características generales===
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Consideramos que una variable <math>x</math> puede adquirir los valores <math>a,b,c,d,...</math> y otra variable y los valores <math>a' , b' , c' , d' , ...</math> <math>x</math> e <math>y</math> son directamente proporcionales si <math>a/a' = b/b' = c/c' = d/d'...</math>
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Consideramos que una variable '''x''' puede adquirir los valores '''a,b,c,d,...''' y otra variable los valores '''a' , b' , c' , d' , ...''' '''x''' e '''y''' son directamente proporcionales si
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<math>\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} = \frac{d}{d'}...</math>
===Teorema de Tales===
===Teorema de Tales===
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Cuando un haz de rectas se interseca con un haz de rectas paralelas se definen segmentos directamente proporcionales sobre cada una de ellas: <math>VA/VA'=AB/A'B'=BC/B'C'=..........</math>
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Cuando un haz de rectas se interseca con un haz de rectas paralelas se definen segmentos directamente proporcionales sobre cada una de ellas:
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<math>VA'/VA''=A'B'/A''B''=B'C'/B''C''=.......</math>
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<math>\frac{VA}{VA'} = \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} =..........</math>
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<math>\frac{VA'}{VA''} = \frac{A'B'}{A''B''} = \frac{B'C'}{B''C''} =.......</math>
[[Imagen:21Proporcionalidaddirecta.gif]]
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Línea 14: Línea 18:
En Egipto, Tales de Mileto aplicó su teorema para medir la altura de una pirámide, considerando su sombra y situando un bastón <math>BB'</math>.
En Egipto, Tales de Mileto aplicó su teorema para medir la altura de una pirámide, considerando su sombra y situando un bastón <math>BB'</math>.
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En nuestra figura vemos que la altura <math>h = VV' </math> es la incógnita de esta igualdad: <math>VV ' / BB' = V 'O / B ' O </math>, luego
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En nuestra figura vemos que la altura <math>h = VV' </math> es la incógnita de esta igualdad:
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<math>h= VV' = V 'O \cdot BB' / B'O </math>
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<math>\frac{VV'}{BB'} = \frac{V'O}{B'O}</math>, luego
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<math>h = VV' = V 'O \cdot \frac{BB'}{B'O}</math>
[[Imagen:DibujoTecnico I-5 1.gif]]
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Línea 22: Línea 28:
El teorema de Tales nos ofrece distintas expresiones de segmentos directamente proporcionales. Si nos fijamos en la figura tenemos que:
El teorema de Tales nos ofrece distintas expresiones de segmentos directamente proporcionales. Si nos fijamos en la figura tenemos que:
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<math>BA/MA = BC/MN = CA/NA</math>
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<math>\frac{BA}{MA} = \frac{BC}{MN} = \frac{CA}{NA}</math>
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<math>MA/NA=BM/CN= BA/CA</math>
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<math>\frac{MA}{NA} = \frac{BM}{CN} = \frac{BA}{CA}</math>
De la primera igualdad deducimos la segunda ya que:
De la primera igualdad deducimos la segunda ya que:
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<math>BA/CA = MA/NA</math>
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<math>\frac{BA}{CA} = \frac{MA}{NA}</math>
[[Imagen:DibujoTecnico I-5 2.gif]]
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===Aplicaciones del teorema de Tales===
 
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Las aplicaciones del teorema de Tales son muchas y muy importantes: la división de un segmento en partes proporcionales, la división de un segmento en partes iguales, la tercera proporcional de dos segmentos dados, la segmentación áurea, la cuarta proporcional de tres segmentos dados, el cálculo gráfico de productos y razones de segmentos dados, el cálculo de razones simples, razones dobles y cuaternas armónicas, la semejanza y el estudio de las escalas. Todas estas construcciones son de gran interés para la resolución de problemas y para el estudio de las transformaciones.
 
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====División de un segmento en partes proporcionales====
 
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Para dividir un segmento '''AD ''' en partes proporcionales a las partes '''A’B’, B’C’ y C’D’ ''' dadas, trazamos una recta que pase por '''A''' definiendo así un haz de dos rectas. Sobre ella llevamos las magnitudes dadas. Por el extremo '''D’ ''' trazamos la recta '''DD’ '''. Trazamos paralelas a '''DD’ ''' por los puntos '''B’''' y '''C’ '''. Estas paralelas cortan al segmento dado en los puntos '''B''' y '''C'''.
 
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Por el teorema de Tales, se cumplirá que '''AB/A’B’=BC/B’C’=CD/C’D’'''.
 
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 3.gif]]
 
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====División de un segmento en partes iguales. ====
 
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Para dividir un segmento '''AB''' dado en '''n''' partes iguales, trazamos una recta que pase por '''A'''.
 
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Situamos sobre ella '''n''' partes iguales, que numeramos. En este caso '''n=9'''. Dibujamos la recta '''9B''' y trazamos paralelas a ella por los puntos restantes, ordenadamente.
 
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Por ser equidistantes las paralelas los segmentos definidos sobre '''AB''' son iguales.
 
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 4.gif]]
 
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====Demostración del teorema de la bisectriz====
 
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La bisectriz del ángulo '''BAC''' de un triángulo '''ABC''' divide a su lado opuesto en partes proporcionales a los otros lados del triángulo.
 
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Consideramos el triángulo '''ABC''' y su bisectriz '''AD'''. Según el teorema: '''BD/DC=AB/AC. '''
 
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Vamos a comprobarlo:
 
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Trazamos por '''C''' una paralela a '''AD''', que corta a la prolongación de '''AB''' en '''E'''.
 
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Por el teorema de Tales, se cumple que: '''BD/DC=AB/AE'''.
 
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Los ángulos '''BAD=AEC''' por tener un lado común y los otros paralelos entre sí y '''DAC=ACE''' por ser alternos internos.
 
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Como '''BAD=DAC''' tenemos que '''AEC=ACE''', lo que indica que el triángulo '''ACE''' es isósceles con base '''EC''', luego '''AC=AE'''.
 
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Lo aplicamos a la igualdad anterior y resulta que '''BD/DC=AB/AC'''.
 
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 5.gif]]
 
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El mismo razonamiento vale si consideramos la bisectriz del ángulo exterior '''MAC. '''
 
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 6.gif]]
 
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====Cuarta proporcional de tres segmentos====
 
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Dados tres segmentos a, b y c, se llama magnitud cuarta proporcional de ellos a un segmento d que verifica: a/b=c/d.
 
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Para hallarlo aplicamos el teorema de Tales: dibujamos un haz de dos rectas. Sobre una de las rectas situamos los segmentos a y c y sobre la otra el segmento b, como se ve en la figura.
 
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Trazamos la recta que une los extremos de a y b y trazamos una paralela por el extremo de c. Esta paralela define el segmento d solución del problema, pues: a/b=c/d
 
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 7.gif]]
 
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====Tercera proporcional de dos segmentos====
 
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Dados dos segmentos a y b, se llama magnitud tercera proporcional de ellos a un segmento c que verifica: a/b=b/c.
 
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Vemos que es un caso particular de cuarta proporcional, con los términos intermedios iguales.
 
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Para hallarlo aplicamos el teorema de Tales: dibujamos un haz de dos rectas. Sobre una de las rectas situamos los segmentos a y b y sobre la otra el segmento b, como se ve en la figura.
 
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Trazamos la recta que une los extremos de a y b y trazamos una paralela por el extremo de b. Esta paralela define el segmento c solución del problema, pues: a/b=b/c
 
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 8.gif]]
 
[[Categoría:Dibujo]]
[[Categoría:Dibujo]]

Revisión actual

Características generales

Consideramos que una variable x puede adquirir los valores a,b,c,d,... y otra variable los valores a' , b' , c' , d' , ... x e y son directamente proporcionales si

\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} = \frac{d}{d'}...

Teorema de Tales

Cuando un haz de rectas se interseca con un haz de rectas paralelas se definen segmentos directamente proporcionales sobre cada una de ellas:

\frac{VA}{VA'} = \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} =..........


\frac{VA'}{VA''} = \frac{A'B'}{A''B''} = \frac{B'C'}{B''C''} =.......

Imagen:21Proporcionalidaddirecta.gif

En Egipto, Tales de Mileto aplicó su teorema para medir la altura de una pirámide, considerando su sombra y situando un bastón BB'.

En nuestra figura vemos que la altura h = VV' es la incógnita de esta igualdad:

\frac{VV'}{BB'} = \frac{V'O}{B'O}, luego

h = VV' = V 'O \cdot \frac{BB'}{B'O}

Imagen:DibujoTecnico I-5 1.gif

El teorema de Tales nos ofrece distintas expresiones de segmentos directamente proporcionales. Si nos fijamos en la figura tenemos que:

\frac{BA}{MA} = \frac{BC}{MN} = \frac{CA}{NA}

\frac{MA}{NA} = \frac{BM}{CN} = \frac{BA}{CA}

De la primera igualdad deducimos la segunda ya que:

\frac{BA}{CA} = \frac{MA}{NA}

Imagen:DibujoTecnico I-5 2.gif

Obtenido de "http://wikillerato.org/Proporcionalidad_directa.html"
   
 
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